首页 学者频道 产业人才 学术频道 创新频道 全国学会 科协智库 人才评奖

梦中能做数学题吗?

科界 03月20日

​​日有所思,夜有所梦。每天都在做数学,梦中就出现了数学问题。从中学题目到部分大学在研究生才学习的李群和李代数,有这么几道有意思的题,姑且记来。

撰文|咸道

《红楼梦》中有一个故事:香菱学作诗,用了很多苦功也没能作好,却在梦中作出一首好诗。当然这有点“怪力乱神”的味道。据说著名的小提琴曲《魔鬼的颤音》也是在梦中作出的。那么在现实中这样的事真的能发生吗?我所关心的是:在梦中能做数学吗?

也许某些天才可以,而吾等凡夫俗子是不行的。在我的梦中,场景变化很快,而且是跳跃式的,每个场景持续的时间很短,更谈不上逻辑性。而要证明一个定理,需要多步推理且还要反复检验,在梦中当然不可能做到。

但是,在梦中出现一个好的 idea 倒并非不可能。如作诗梦见一个妙词或妙句,我还是相信的。但另一个问题是,绝大多数梦境在醒来时都忘了,只有在梦见妙句时突然醒来,才有可能记下并传之于世。

对于数学,这样的好事最近我遇到多次,写出来与大家分享,就是数学的“痴人说梦”了。

一 日有所思

先得说明一下“日有所思”,才好解释什么是“夜有所梦”。

由于新冠肺炎流行,我和大家一样宅在家里。首先要做的是修订《李群与李代数基础》一书。这是2015年出版社就约稿的,去年8月我计划再讲一次定稿。尔后顺利讲完,但整理书稿的工作量仍很大。幸乎不幸乎,新冠肺炎让我有了时间,而且学校延期开学,开学后又是网上授课,这样我有了近两个月的连续工作时间,终于在上周完成了修订工作,向出版社交稿了。所以现在有时间聊些轻松愉快的话题。

开学后的教学工作,当然也是与数学有关的。一方面是研究生课程《交换代数与同调代数》,我觉得上网课肯定是不行的,遂采用了“网上讨论班”的授课方式。实行以来相当有效,因为同学们提出的问题往往是同学们先回答,而且到处查阅资料。大家在微信群中上传的文件也很多,有些贪婪的同学把整本的厚书上传,如EGA(格罗滕迪克的著作 Eléments de Géométrie Algébrique 的简写,即《代数几何原本》)和布尔巴基学派的书。除了研究生课程,我还有对本科生甚至中学生的教学任务,这些目前还没有值得一提的进展,但仍在努力。

应该说这些工作的难度都不大,否则我晚上只会做噩梦。但毕竟每天都在玩数学,梦中就会常出现数学问题,有几个醒来时还没忘,而且觉得有点意思,下面就一个个写出来。不是按照做梦的时间顺序,而是按照难度从低到高排列的。

二 夜之所梦

01 梦到数学题

wt_a4263eb47b.jpg

02 梦到本科题

wt_a1262e39b2.jpg

03 梦到李群与李代数问题之一

wt_a1262e2d58.jpg

wt_a3239eb395.jpg

04 梦到李群与李代数问题之二

下面说的这个梦,尽管是转瞬即逝,要听痴人说梦却有点辛苦,需要跟着做好几个习题才行。

在梦中也是苦苦挣扎,这次是努力用直线的无穷小运动计算李代数。如我在前文所说,吾等凡夫俗子肯定是算不出的。挣扎着就醒了。

醒来后想想,在梦中算的是什么李群的李代数呢?一般的线性群的李代数在教科书中不是都有计算吗?

无穷小运动!明白了,在梦中算的是运动群。

这还真是个问题,一般的教科书中没有。为了详细解释,我把需要做的习题逐个列出,不想做的就别往下看了。

wt_a1262e361c.jpg

​由于ΓO(V,<,>)不是GL(V)的子群,关于线性群的李代数的结果不能直接套用。但可利用 

wt_a5266eb334.jpg

 的一个很好的线性表示来解决这个问题。

这样就在书中又增加了一道习题。

三 尾声

诸位在抗疫期间都好吗?问候大家了。

如果您成天看的都是疫情消息,这篇文章就算是给您打打岔了。

在这段时间能做几个好梦,也算是不幸之中的小幸了。

不知诸位是否也做过数学的好梦,若有请拿来分享。

谢谢大家。

特 别 提 示

1. 进入『返朴』微信公众号底部菜单“精品专栏“,可查阅不同主题系列科普文章。

2. 『返朴』提供按月检索文章功能。关注公众号,回复四位数组成的年份+月份,如“1903”,可获取2019年3月的文章索引,以此类推。

版权说明:欢迎个人转发,任何形式的媒体或机构未经授权,不得转载和摘编。转载授权请在「返朴」微信公众号内联系后台。

数学 返朴 李群

推荐资讯