找到这51个数字，用时两千多年

很久很久以前，数学家就开始研究整数的性质以及整数之间的关系。对这些数字的研究也演变成了数学的一个重要分支——数论，这是数学中最古老的领域之一。它历史悠久，包含着许多深刻而迷人的问题，其中很多问题直到现在仍未得到解决。

在这些问题中，其中一个便与完全数有关。完全数是等于其因数之和的整数，比如6的因数有1、2、3，而1+2+3=6；再比如28可以被1、2、4、7、14整除，而1+2+4+7+14=28。像6和28这样的数字就被称为完全数（别称完美数、完备数）。

这些“完美”的数字令数学家着迷，因为在它们通俗易懂的定义之下，是复杂而神秘的性质——定义这样一个完全数并不难，但找到一个完全数却难于上青天。对完全数的搜寻从古希腊便开始了，但迄今为止我们只找到51个这样的数字。其中最大的一个是在2018年才发现的，我无法在这里展示这个数字是多少，因为它有接近五千万位数字。

欧几里得

完全数的故事始于两千三百多年前，它出现在欧几里得的数学著作《几何原本》中。在《几何原本》第九章的最后一个命题中，欧几里得首次给出了寻找完全数的方法：

“如果任意一组数字是从最小整数出发，以两倍的比例连续展开，直到它们加起来的和是一个素数，这个和与最后一个数字相乘得到的数就是完全数。”

这个陈述听起来或许不太直观，我们可以用一个简单的例子来分解这段话：从数字1（最小整数）开始，将之后的每个数字都乘以2（以两倍的比例连续），便能得到数列1、2、4、8、16；这几个数字之和1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31为素数；根据欧几里得的计算方法，用31乘以数列中的最后一个数字，16，得到的数字496应该是一个完全数。

我们可以检验一下496是否真的为一个完全数：496的因数有248、124、62、31、16、8、4、2、1，这些数字之和1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496，这是继6和28之后的第三个完全数。

事实上，前四个完全数都是由欧几里得发现的，它们分别是6、28、496，以及8128；第五个完全数直到15世纪才被找到。

欧几里得的发现为寻找新的完全数提供了一种可靠的方法。但这种方法的一个关键问题在于，找到一个完全数的前提是先要判定因数之和是一个素数（比如上个例子中的31），但这显然是一个需要大量计算的步骤。即使在今天，识别新的素数也非一件轻松的事。

现代数学家有一种更为方便的方法来思考欧几里得的结果，它不再需要进行冗长的加和，而是将加和过程重新表述为

如果2ᴷ⁺¹-1是素数，那么2ᴷ(2ᴷ⁺¹-1)就是完全数。

尼科马库斯

另一位与完全数相关的希腊哲学家是尼科马库斯，他生活在公元150年左右。与欧几里得不同的是，尼科马库斯并没有为他的研究结果写下严格的证明，他对完全数的影响不在于留下了简洁的命题，而在于对数字进行了分类。在他的著作《算术入门》一书中，他提出将数字分为过剩数、亏数、完全数。

根据尼科马库斯的分类，一个亏数指的是其所有因数之和小于这个数本身的整数；一个过剩数是指该数的所有因数之和大于这个数本身的整数；而完全数则正如我们前面所看到的那样，它的所有因数之和等于自身。所有自然数都可以被归到这三种类型中。

尼科马库斯不仅用这种方法对数字进行了分类，他还认为，与完全数相比，过剩数和亏数是“质量更低等”的数：

“对于过多的情况，会产生过剩、多余、夸大和滥用；而过少的情况则产生匮乏、缺损、贫瘠和不足。那些介于过多和过少之间的，也就是处于平等之中，产生了美、得体、美丽和诸如此类的东西——其中最典型的形式就是被称为完全数的数字。”

这种分类观点也影响了后来的许多思想家，他们认为完全数具有某种神圣的性质。比如4世纪的神学家圣奥古斯丁（Saint Augustine）在《上帝之城》中就写道：

“六本身就是一个完美的数字，并不是因为上帝在六天内创造了所有的东西；而是上帝之所以在六天内创造了万物，是因为这个数字是完美的。”

海什木

在欧几里得离世的1200多年后，阿拉伯物理学家、数学家海什木对《几何原本》中关于完全数的部分进行了研究，并成为了首个提出欧几里得的结果的逆命题也为真的人。他认为，欧几里得用来产生完全数的过程，产生的都是偶数完全数。

虽然海什木没能完全证明这一结果，但他是第一个试图对所有的偶数完全数进行完整描述的数学家。后来有许多数学家试图效仿海什木的研究，希望能取得更多的进展，但这种完整描述直到过了18世纪才得以出现。

莱昂哈德·欧拉

于1707年出生的莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ）至今仍是最多产的数学家之一。几乎每个数学领域都有一个以他的名字命名的结果，数论领域自然也不例外，他最终证明了，欧几里得的产生完全数的算法，产生的都是偶数完全数。

并且欧拉还找到了一个新的完全数，这个数字非常大，是第八个完全数：

然而，直到19世纪末，第九个完全数才被找到。不过自那之后，随着数论的进步和新技术时代的到来，数学家终于得以将一些大到无法想象的完全数公之于众。

51个完全数

到目前为止，数学家已经发现了51个完全数，于2018年发现的最大完全数比2017年发现的第50个完全数多了三百多万位。这些进展完全得益于数学与计算机科学之间的合作。

当然，计算完全数与证明完全数仍然有很大的区别。虽然现在发现一个完全数已经不像过去那样艰难，但需要进一步研究的问题还有很多，比如所有的完全数有什么共同的性质吗？偶数完全数有无穷多个吗？有奇数完全数吗？

许多的数学家都在试图解决这些问题，然而我们离得到一个普遍的答案还有很长的距离。

本文经授权转自《原理》微信公众号

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