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菲尔兹奖得主Thurston与庞加莱猜想

科界 05月08日

数学家William Thurston是1982年菲尔兹奖得主。在《菲尔兹奖得主Thurston的十个故事》中,我们看到了这位数学天才的传奇。今天主要介绍Thurston与庞加莱猜想的关系。庞加莱猜想是数学家庞加莱于1904年提出的一个拓扑学猜想,也是克雷数学研究所悬赏的七个千禧年大奖难题之一。Thurston提出的几何化猜想如果被证明是正确的,那么庞加莱猜想就是它的一个推论。正是通过证明Thurston几何化猜想,佩雷尔曼最终在2002年解决了庞加莱猜想。

撰文 | Joseph Malkevitch(纽约市立大学约克学院)

翻译 | 唐璐(湖南大学)

每个领域都有超级明星——生物学有达尔文,化学有鲍林,物理学有牛顿,古典音乐有莫扎特,心理学有弗洛伊德。数学同样有超级明星,牛顿也位列其中。

关注数学教育的人争论数学天赋是否与生俱来,又或是否天赋只要达到了一定的阈值,就能通过教育在数学上有所成就。许多人能从数学学习和职业生涯中获得巨大的满足感,但他们并不是超级明星,甚至不是明星。在某些领域,天才在很小的时候就显现,莫扎特就是典型例子。有很多人认为,数学家最好的成果都出现在职业生涯早期,这种说法并不完全准确。然而,作为对数学天赋的认可,最负盛名的数学奖项——菲尔兹奖——只颁发给 40 岁以下的人!莫扎特和舒伯特不到40岁就去世了,数学家阿贝尔(Niels Henrik Abel,1802-1829)和伽罗瓦(Évariste Galois,1811-1832)同样如此。在更晚近的年代,还有很多才华横溢的数学家也是英年早逝:

拉马努金(Srinivasa Ramanujan,1887-1920),米哈伊尔·亚科维奇·苏斯林(Mikhail Yakovlevich Suslin,1894-1919),安德烈斯·弗洛尔(Andreas Floer,1956-1991),以及奥迪·施拉姆(Oded Schramm,1961-2008)*

*译注:奥迪·施拉姆是瑟斯顿在普林斯顿大学任教时的博士生,获得了庞加莱奖、波利亚奖、奥斯特洛斯基奖等一系列重要奖项,但是因过龄错失了菲尔兹奖。菲尔兹奖每4年颁发一次,2002年菲尔兹奖的截止出生日期是1962年1月1日,而施拉姆出生于1961年12月10日,仅相差3个星期。跟随施拉姆做研究的年轻数学家Wendelin Werner获得了2006年菲尔兹奖。热衷于登山的施拉姆于2008年因山难去世。另外近年还有著名女数学家Maryam Mirzakhani也是英年早逝,Mirzakhani1977年出生于伊朗,擅长几何学,2004年在哈佛大学获得博士学位,师从菲尔兹奖得主Curtis McMullen,2014年获得菲尔兹奖,2017年因患乳腺癌去世。)

数学家们都各有特色:一些人在多个数学领域都做出了出色的工作,另一些则是在某个专业的数学领域取得了惊人的成果;一些人专注于数学研究,另一些还涉猎其他领域;一些人只谈论数学,另一些在空闲时除了数学也谈论政治、音乐、艺术和文学。

音乐和数学天赋从何而来?显然数学天赋部分来自遗传。巴赫家族出了许多音乐家,伯努利家族出了许多数学家。数学家George Birkhoff的儿子Garrett Birkhoff也是数学家。不过虽然莫扎特的父亲是很优秀的音乐家,谁又能预料到他的儿子会有如此惊人的成就呢?数学和教育界人士仍在争论数学天赋来自先天还是后天,以及如何发现那些能在数学上有所成就并乐在其中的人。

这篇文章是对杰出数学家威廉·瑟斯顿的致敬。1982 年,瑟斯顿同Alain Connes和丘成桐一道获得了菲尔兹奖。瑟斯顿不仅在数学上做出了重要成就,而且乐于与人们分享他的专业知识以及对数学的洞见和热情。

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威廉·瑟斯顿(William Thurston,1946-2012),他也常被称作比尔·瑟斯顿(Bill Thurston)。

威廉·瑟斯顿的简要生平

比尔·瑟斯顿的父母不是数学家,但他的父亲有物理和工程学背景。他的母亲对缝纫很感兴趣,这也许可以解释瑟斯顿为什么对服饰和时尚感兴趣,但他专注于对曲面特性的理解也可以解释这一点——也许布料的复杂特性有助于他的思考。许多杰出数学家都毕业于“名牌大学”,但瑟斯顿却就读于佛罗里达州的一所初创大学:新学院。

新学院原为私立学院,1964年开始招生,现为公立大学佛罗里达新学院(New College of Florida)。瑟斯顿1967年毕业后去了加州大学伯克利分校攻读博士。1972年,他以博士论文《圆丛三维流形的叶状结构》(Foliations of Three-Manifolds which are Circle Bundles)获得了学位。瑟斯顿的学术师承让人感兴趣,他的导师是Morris Hirsh,Hirsh自己的两位导师也都是拓扑学大师:Edwin Spanier师从拓扑学家Norman Steenrod,Stephen Smale也是菲尔兹奖得主,师从沃尔夫奖得主Raoul Bott。

瑟斯顿学术生涯的第一年在普林斯顿高等研究院,然后去了MIT担任助理教授,之后在普林斯顿大学担任教授。1991年瑟斯顿离开普林斯顿回到加州大学伯克利分校。两年后,他成为伯克利数学科学研究所(MSRI,成立于1982年)所长。MSRI以多种形式促进数学发展,包括定期举办研讨会和持续一个学期的学术交流,期间就某一特定主题邀请学者访问和研讨。主题可能是傅里叶分析、解析数论、或者几何和拓扑组合学。选定的主题涉及广泛的数学领域及其应用。在瑟斯顿领导MRSI期间,他积极推动研究所扩大活动范围,并热衷于促进公众对数学的认识。

1997年瑟斯顿离开MRSI去了加州大学戴维斯分校,2003年去了康奈尔大学。2011年,他被诊断患有黑色素瘤,2012年去世。为了纪念他,2014年在康奈尔举行了一次会议。

除了菲尔兹奖,瑟斯顿还获得过许多荣誉,包括维布伦几何奖(1976年)和Leroy Steele奖(2012年)。2005年,瑟斯顿的《三维几何和拓扑学》(Three-dimensional Geometry and Topology)获得了第一届美国数学学会图书奖。这本书所依据的讲义已流传多年,在成书之前就影响了许多人。

前面说过菲尔兹奖只颁给40岁以下的人。当然,菲尔兹奖得主在获奖后继续做出精彩的成果是很常见的,瑟斯顿就是如此。有一些数学家则因其最好的工作是在40 岁以后完成而错过菲尔兹奖。后来又有了一些没有年龄限制的顶级奖项,例如邵逸夫奖、阿贝尔奖和沃尔夫奖。

瑟斯顿和流形

数学有许多领域,例如代数和几何,但是通常很难界定特定的数学“属于”哪个领域,因此,人们会谈论几何代数和代数几何。虽然大多数人视瑟斯顿为拓扑学家,但他也研究几何学,他的一些工作被描述为几何拓扑学。

几何和拓扑学家对曲面感兴趣。我们熟悉各种曲面,比如平面、球面、锥面和甜甜圈(环面)。流形是一类特殊的曲面,从其上的每一点看来,临近的区域都类似欧氏空间。更准确地说,流形具有如下性质:流形(曲面)的每一点都位于一个集合的中心,这个集合拓扑等价于一个(开)欧氏球。欧氏球是与给定点的距离小于或等于某个给定实数r(球的半径)的点集。它有两种形式,开球只包含距离严格小于r的点,而闭球还包含距离等于r的点。例如,圆的内部是一个2维开球,也称为开圆。因此,2维流形是有如下性质的曲面,在其每一点都能找到一个(可能的)小集合拓扑等价(同胚)于一个位于那一点的开圆。

如果存在从集合X到集合Y的一对一连续映射函数,并且反函数也是连续的,则称X拓扑等价或同胚于Y。从拓扑学的角度看,正方形、五角星、椭圆和欧氏圆都是拓扑等价的。请注意,其中一些是光滑曲线,另一些则有角。也有一些人将拓扑描述为橡皮几何学:如果一个集合不经切割或撕裂就能变换为另一个集合,那么两者就是拓扑等价的。简而言之,同胚是“拓扑等价”的专业术语。

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在拓扑学中,一个杯子和一个甜甜圈(实心环面)是等价的,一头母牛和一个球面也是等价的。| 来源:Wikipedia

数学家们在研究流形时会寻找那些帮助我们理解流形结构的定理。图1展示了一系列2维流形,这些曲面(都是有界的)上的任意点的周围,都有一个小集合等价于一个2维圆内部的拓扑拷贝。图中曲面包含的孔的数量各不相同,中间的曲面有1个孔,我们称它的亏格为1。你也许能想出办法,将中间曲面的多个拷贝连接到左边的曲面,以得到最右边的曲面。

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图1. 包含零个孔、一个孔和多个孔的曲面。| 来源:Manifold Atlas Project

应该怎样对流形分类呢?一个自然的选择是依据流形的维度,比如上面我们看到了球面和环面这类经常遇到的2维流形。除此之外,还有连通、有界、平滑(可微)和紧致的流形,以及有边界的流形。所有这些都是用来刻画特定类型流形的特殊属性。图2展示的曲面被称为3维空间中的裤子。

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图2. 这个曲面被称为3维空间中的裤子。| 来源:Wikipedia

我们也可以考虑在平面上绘制的裤子,如图3所示。在不同的设定下观察同一个“对象”,可以帮助我们更深刻地认识对复杂曲面进行区分的一般性原则。请注意,图中的红色圆圈不是所关注的曲面的一部分。如果我们在曲面加上红圈会发生什么?每个点仍然是某个拓扑圆的中心吗?拓扑学家可能感兴趣的问题是,如果将裤子作为部件拼接起来,得到的曲面会有多少种变体。

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图3. 画在平面上的裤子 | 来源:Wikipedia

数学发展的一个方面体现在,能以某种方式区分以前认为是相同的事物。因此,新的修饰词不断被加到流形这个术语前面,以区分不同类型的曲面。例如,我们讨论2维流形、3维流形、双曲流形、以及上面提到的各种类型的流形。双曲流形的每个点周围的区域类似某个维数的双曲空间。空间可以用不同的方式区分,例如曲率。欧氏空间的曲率为零,而双曲空间则具有负曲率。在欧氏平面几何中,经过直线外一点有且仅有一条平行线,而在双曲平面中,经过直线外一点有许多条平行线。瑟斯顿的研究领域就包括双曲流形和空间。

曲面的另一个属性是可定向性,这个概念关系到能否在曲面上保持一致的方向感。图4是著名的莫比乌斯带,它就是不可定向的。将长条(例如长30cm、宽5cm)的两端粘到一起,可以得到圆柱曲面,这是可定向的双面曲面。如果将其中一条短边翻转后再粘到一起,得到的就是莫比乌斯带,它只有一个面,不可定向。另外请注意这个曲面有“边”,这一点与球面不同。

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图4. 不可定向的曲面:莫比乌斯带。如果一只蚂蚁在莫比乌斯带上一直向前爬行,它可以从带子的一面绕到另一面,而无需跨越带子的边界。| 来源:Wikipedia

图5是著名的克莱因瓶曲面,以它的发现者Felix Klein的名字命名。克莱因瓶也是不可定向的,而且它不能在没有自相交的条件下嵌入3维空间,不像莫比斯带能嵌入3维空间。

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图5. 克莱因瓶 | 来源:Wikipedia

图6中不可定向的2维流形是一个被研究得很多的几何对象——没有自相交不能嵌入3维空间的实射影平面。平面几何的3种基本类型是欧氏几何、双曲几何(也称为罗氏几何)和实射影平面。实射影平面是点和线遵循如下性质的一种结构,即任意两条不同的线必须相交于一点。

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图6. 实射影平面 | 来源:Wikipedia

在看过一些不同的2维流形曲面的例子之后,我们再看一个不是流形的例子,或许有助于加深理解。图7是一个圆锥体的两个锥盆,它们相交于三条红线的交点。在这一点,曲面没有一个以该点为中心的开欧氏球,所有其他的点都很好!不过两个锥盆分开后却都是2维流形。

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图7. 在三条红线的交点,曲面没有一个以该点为中心的开欧氏球,因而这是一个不是流形的曲面。| 图片来源:Wikipedia

顺便说一下,也有1维流形。平面上的圆或开线段就是1维流形。数字8或无穷符号∞则不是1维流形,因为在自交点处,这两个集合的局部不是1维开球。

庞加莱猜想

如何界定一个拓扑的2维欧氏圆?拓扑圆的一个基本性质是它们把平面划分为三个集合:拓扑圆上的点、圆内部的点和圆外部的点。简单的闭合曲线——拓扑圆的另一个名称——遵循这个性质似乎极为明显,以至于在很多年里都没有基于更基础的几何学来证明这是正确的。最后是法国数学家若尔当(Camille Jordan,1838-1922)付诸行动,这个结果被称为若尔当曲线定理:简单闭曲线是拓扑圆,与欧氏圆同胚。

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若尔当曲线定理说明,每一条若尔当曲线都把平面分成一个“内部”区域和一个“外部”区域,且任何从一个区域到另一个区域的道路都必然在某处与环路相交。若尔当曲线定理表面上似乎是十分显然的,但要证明它却十分困难。| 来源:Wikipedia

人们最初认为,把拓扑圆的概念推广到3维空间与球面同胚的曲面是轻而易举的事情。然而,数学家们逐渐认识到,要将图形的属性转换到不同维度的空间并不是那么容易。例如,如果两个简单多边形(多边形的边相交的地方是一个顶点)的面积相同,那么总有办法将其中一个多边形切割成有限数量的简单凸多边形碎片,然后将这些碎片重新组合成另一个多边形,就像玩拼图一样。然而,希尔伯特(1862-1943)的一个学生,也对曲面理论做出了重要贡献的Max Dehn(1878-1952),证明了这个定理的3维版本并不成立(这也是希尔伯特23个问题中的第三个)。也就是说,不可能把立方体切割成有限数量的凸多面体块,然后重新组装成同样体积的正四面体。因此,研究流形和曲面拓扑的数学家对维度转换后2维对象的基本性质能否保留持谨慎态度。

法国数学家庞加莱(1854-1912)是研究曲面拓扑性质的先驱之一。他发展了现代拓扑学的基本思想——同伦与同调的重要概念。

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庞加莱

庞加莱试图搞清楚拓扑学上等同于高维球面的形状可以有多么不同,正如早期拓扑学研究者试图搞清楚简单的封闭曲线的形状可以有多么不同一样。庞加莱思考了这个问题,并给出一个猜想,但是并没有明确说出他认为这个猜想是对还是错!这个猜想后来被称为庞加莱猜想,用现代术语表述是这样:

如果M是封闭的单连通3维流形,则M与3维球面同胚。

这个猜想形式上的直观性吸引了许多拓扑学家开始研究这个问题,并且发展出了许多关于流形的工具,这些工具有希望找到解决这个问题的途径。这个看似简单的问题引发了人们的兴趣,从而刺激拓扑学取得了重要的进展。瑟斯顿在博士工作完成后,对各种流形,尤其是双曲流形产生了兴趣。关键在于这种流形上的每一点都类似某个维度的双曲几何空间。研究一段时间后,瑟斯顿提出了一个猜想,这个猜想后来被称为瑟斯顿几何化猜想。直观的想法是,任何封闭的3维流形都可以区分为8 种类型之一,瑟斯顿对此给出了明确描述,并进行了研究。值得注意的一点是,如果这个猜想被证明是正确的,那么庞加莱猜想就是它的一个推论。

瑟斯顿和其他人证明了几何化猜想的几种特例是正确的。尤其是,瑟斯顿用非常创新的想法证明了,它对一类很丰富的流形,也就是哈肯流形成立。哈肯流形以Wolfgang Haken(1928-)的名字命名,他最著名的工作是与Kenneth Appel证明了四色猜想。

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比尔·瑟斯顿的照片。留意他运动衫上的公式!

在19世纪末20世纪初,希尔伯特列出了一系列他认为对数学发展很重要的问题,希尔伯特问题引发了人们的广泛兴趣。后来的发展证明了他的眼光!其中许多问题已被解决,并衍生出了许多新的数学思想,另一些还在继续研究。2000年时克雷数学研究所提出了一个包含7个问题的清单,被称为千禧年问题,并附加了悬赏,解决其中任何一个问题,都能得到一百万美元奖金!庞加莱猜想就是千禧年问题之一。

2002年,佩雷尔曼(Grigori Perelman,1966-)公布了一系列论文,声称已证明了庞加莱猜想。他解决这个问题的方法就是证明瑟斯顿几何化猜想。随后对他的证明进行的严格审查证实,他的方法非常具有原创性,并且是正确的。同其他突破性证明方法刚提出时一样,佩雷尔曼的方法后来又被加以完善和改进。在他的证明被确认正确之后,他被授予了千禧年奖,但他拒绝领奖!他也被选为 2006 年菲尔兹奖的得主之一(同Andrei Okounkov、陶哲轩和Wendelin Werner一起),但是他又拒绝了。佩雷尔曼使用的方法部分基于Richard Hamilton 关于Ricci流的思想。

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格里戈里·佩雷尔曼

瑟斯顿的其他贡献

接下来我们介绍一下瑟斯顿对几何学的另外两个很重要的贡献。瑟斯顿推广流形概念的方法之一是发展轨形(orbifold,orbit-manifold的缩写)的概念。瑟斯顿在普林斯顿的同事康威(John Horton Conway,1937-2020,在刚过去的4月11日,这位数学天才因新冠肺炎不幸离世)发明了一种实用的轨形标注法,并用来研究各种曲面的对称性。康威证明了它可以解释一个看似特别神秘的事情——在欧氏条带上有7种类型的带状装饰(见图8的示例),在欧氏平面上有17种类型的壁纸图案。康威在其中使用了轨形的概念和基于曲面(在这里是欧式平面)的欧拉示性数的思想,这样对数字7和17的根源就有了一种自然的理解!

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图8. 两种不同类型的带状装饰图案。| 图片来源:Wikipedia

在对流形的研究中,人们经常感兴趣的一个问题是如何对曲面进行三角剖分,即在给定的规则下将曲面分割成三角形,创建三角形网格。曲面的三角剖分在数值分析和图像处理中有重要应用。瑟斯顿研究了一类有趣的二维球面的三角剖分,这种剖分刚好有12个价(valence,度)为5的顶点,其他所有顶点的价为6。Branko Grünbaum和Theodore Motzkin证明了在对偶情形下(与球面上有12个五边形和一些六边形的富勒烯图相对应),对于6价顶点的每一种可能的数目(1除外),都存在相应的三角剖分。

富勒烯也被称为戈德堡多面体;这种多面体最近引起了人们的兴趣,因为新发现的这种多面体的实例具有高度的对称性,并且所有边长都相等。瑟斯顿在这其中的发现是,具有h个6价顶点(h为正整数)和12个5价顶点的不等价的三角剖分多面体的种类多得出奇,从而给出了一系列有待研究的种类丰富的高度结构化多面体。他还给出了多种方法构造这些多面体。

瑟斯顿用高度图像化的方式处理和思考数学问题,也因此他的一些工作被拍成视频,有些他还参与了拍摄。其中一个视频讲述了瑟斯顿开发的一种结构,用来展示在3维空间里,可以把一个球体由内向外翻转,而不会产生任何折痕和挤压,这个过程被称为外翻(eversion)。瑟斯顿的学术师祖父Stephen Smale最先证明了这个惊人的事实是可能的。视频尚未发布,暂时无法播放

介绍翻转球面的数学科普短片“Outside in”,由明尼苏达大学的几何中心(Geometry Center)制作。陶哲轩在悼念Thurston的文章中曾说:“我最喜欢瑟斯顿的一个成果是他翻转球体的优雅方法,也就是平滑地将三维空间中的一个二维球面内外翻转过来,不能有任何折叠或奇点。球面外翻可以实现这一事实是非常不直观的,它通常被称为Smale悖论,因为 Stephen Smale 第一个证明了这种外翻是可能的。然而,在瑟斯顿的方法之前,已知的球面外翻的构造相当复杂。通过压缩和扭曲球面,瑟斯顿的方法足够概念化和几何化,实际上可以很有效地用非技术术语来解释。”

除此之外,几何中心还制作了关于纽结与双曲空间的短片“Not Knot”(不是纽结,而是纽结补空间),以及探索三维空间可能性的“The shape of space”。从中我们对Thurston的数学研究或许会有更多更直观的了解。(相关视频请前往《返朴》观看)

参考资料

[1] Atiyah, M. et al., Response to "Theoretical Mathematics toward a cultural synthesis of mathematics with theoretical physics, Bulletin of the American Mathematical Society, 30 (1994) 178-207.
[2] Conway, J. and H. Burgiel, H., C. Goodman-Strauss, The Symmetry of Things, A K Peters Wellesley, MA, 2008.
[3] Gromov, M. and W. Thurston, Pinching constants for hyperbolic manifolds, Invent. Math., 89 (1987) 1-12.
[4] Gray, J., Henri Poincaré: A scientific biography. Princeton University Press, Princeton, 2012.
[5] Grünbaum, B. and T. Motzkin, The number of hexagons and the simplicity of geodesics on certain polyhedra, Canad. J. Math. 15(1963) 744-751.
[6] Jaffe, A. and F. Quinn, "Theoretical Mathematics toward a cultural synthesis of mathematics with theoretical physics, Bulletin of the American Mathematical Society, 29 (1993) 1-13.
[7] Malkevitch, J. (ed.), Geometry's Future (2nd. edition), COMAP, Bedford, MA, 1991.
[8] Thurston, W., Three-dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry, Bull. Amer. Math. Soc. 6 (1982) 357–381.
[9] Thurston, W., Hyperbolic structures on 3-manifolds. I. Deformation of acylindrical manifolds. Annals of Math., 124 (1986), 203–246.
[10] Thurston, W., On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces. Bull. Amer. Math. Soc., 19 (1988), 417–431.
[11] Thurston, W., Mathematical education, Notice of the American Mathematical Society, 37 (1990) 844-850.
[12] Thurston, W., On proof and progress in mathematics, Bulletin American Mathematical Society, 30 (1994) 161-177.
[13] Thurston, W. and S. Levy (ed.), Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1. Princeton University Press, Princeton, 1997. (Thurston had privately distributed various versions of his writing and course notes on manifolds. His student Silvio Levy worked with Thurston on turning these notes into this volume.)
[14] Schein, S. and J. Gaye, Fourth class of convex equilateral polyhedron with polyhedral symmetry related to fullerenes and viruses, Proceedings of the National Academy of Sciences, 111 (2014) 2920-2925.

本文节选并翻译自美国数学学会在2012年发表的纪念William Thurston的文章“Remembering Bill Thurston(1946-2012)”,略有删节。原文链接:http://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fc-2017-04。

延伸阅读

陶哲轩纪念Thurston逝世的文章:

https://terrytao.wordpress.com/2012/08/22/bill-thurston/

克雷数学研究所关于庞加莱猜想及其证明的介绍:

http://www.claymath.org/millennium-problems/poincar%C3%A9-conjecture

Thurston在MathOverflow网站上的提问和回答:

https://mathoverflow.net/users/9062/bill-thurston

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