费马最后定理及理想类

作者：Kenneth A. Ribet

时间: 2017 年 8 月 1 日
地点: 天文数学馆一楼国际会议厅
整理: 陈其诚、梁惠祯

Kenneth Alan Ribet 教授于 1948 年出生于美国, 目前任教于加州大学柏克莱分校。他为 Andrew Wiles 对费马最后定理的证明完成了关键性的前置工作。

很荣幸在 NCTS 周年庆演讲。我在柏克莱的第一批研究生中就有一位来自台湾, 他是在座的纪文镇教授。很久以前他邀请我来台湾, 今天算是我第三或第四次访问, 记得在三年前参加过 NCTS 的研讨会, 印象深刻。

请容我先问: 在座有多少人是专业数学家? 有多少人不是专业数学家?这个演讲的前半部本来是讲给非专业数学家听的。近结尾时, 我会谈到属于代数数论的理想类(ideal classes)。代数数论可说是源自数学家对费马最后定理的研究, 是数学的一门分支。

谈费马最后定理必须提到它长远的历史。它起源于十七世纪, 会成为数学的核心问题是基于各种各样的原因, 其中一些纯属偶然。而它在数学上所以重要, 其中一个原因是它引导出一些重要的理论, 这些理论的应用范围远远超过费马最后定理本身的研究。

1993 年 6 月, 年轻的英国数学家 Andrew Wiles 在剑桥大学的数学会议上宣布: 他已证明费马最后定理, 350 多年来众人对此问题的探索于焉完满。这全然令人惊讶。从公众的角度来看, 这无疑是数学上最令人兴奋的消息; 因此, 隔天早上, 我的名字、当然还有 Andrew 的名字, 都上了纽约时报的头版。

稍后我会给出定理的实际叙述; 它攸关方程式的解, 基本上是说任何正整数 和 都不能使某件事成立。1993 年, 记者常问我的一个问题是:“能否借由计算机来验证这个定理? 是否只要检查了足够的数据, 就能确信它是对的?”身为专业数学家, 我们当然必须向记者及公众解释: 数学定理通常不能借由有限的计算来证明。数论是我的研究主题, 其中恰巧有许多表面上看似不怎么复杂的问题, 其所牵涉到的数值却出奇的大。譬如所谓的 Pell 方程式: , : 常数; 费马就观察到, 若取 , 则方程式 的最小解是 , ; 比起 109, 很大, 的值较 稍小, 也很大 (译注: 所以你若只检查比较小的 或 , 会以为此方程式没有整数解)。

另一个有名的例子是 Euler 在十八世纪提出的一个猜想: 方程式 没有正整数解; 换句话说, 三个整数四次幂的总和永远不可能是整数的四次幂。到了 60 年代及 70 年代, 人们开始怀疑这个猜想可能是错的, 结果哈佛的 Noam Elkies 首先找到反例

后来我们知道, 这不是最小的反例, 但最小的反例并不比它小很多。Elkies 是用计算机找到反例的, 但在他让笔记本计算机作运算之前, 已用纸笔做了很多脑力工作。

对费马最后定理的描述通常始于勾股定理, 其方程为 , 亦即, 你问: 两个整数平方的和是否可以是某个整数的平方? 大多数人都知道, 3 的平方加上 4 的平方是 5 的平方, , 而 5 的平方加上 12 的平方是 13 的平方, 。当然, 如果你随机取两个数, 并将它们平方后相加, 通常不会得到整数的平方; 譬如: 2 的平方加上 3 的平方是 , 这不是整数的平方。你可能会得到一个完全平方, 但通常并非如此。毕氏三元组是正整数 , 和 ,其中前两个数的平方总和是第三个数的平方。所以 3, 4 和 5 及 5, 12 和 13 都是毕氏三元组。如果你尝试去生成像 5, 12, 13 这样的毕氏三元组, 你可能会想到一个简单的代数等式, 利用它确实可以生成任意多的毕氏三元组。亦即, 取正整数 及 , 通常取 大于 , 而后取 及 的平方的差, 此即为 , 而 是它们的乘积的两倍。你将这两个数平方后相加, 将得到一个完美的平方, 它是 及 的平方和的平方; 也就是说 。若你为 和 代入正整数, 会生成毕氏三元组 (译注: 例如代 , , 得 5, 12, 13)。如果我们选取互质且不全为奇数的 和 , 则得到的毕氏三元组 会互质且 是奇数, 反之, 所有互质的且 是奇数的毕氏三元组 都可以这样生成, 此为这个主题的第一个定理, 已于 500 BC 被古希腊人证明。

若你考虑的不是平方, 会发生什么事? 考虑立方、四次方, 或 次方时, 会发生什么事? 费马最后定理的方程是 。谈到这个方程与费马本人的关联, 据说费马在阅读希腊数论家 Diophantus 的著作时, 常常在空白处做页边笔记, 其中一条写道: “ 无解, 其中 , 和 是正整数, ”。我们知道的是: 费马的儿子 Samuel 在他父亲过世后, 得到他父亲的书, 发现他父亲写的页边笔记, 并出版附有他父亲笔记的新版 Diophantus 著作。我们现在看得到的是 Samuel 的版本, 而有他父亲实际手写注记的 Diophantus 的原书丢失了, 我们没有那个原本, 只有二手来源。之后发生的是, 页边笔记的其他内容, 都陆续由不同的数学家完成证明, 唯独“ () 无非平凡解解”的叙述无法证明。

费马声称的叙述, 很可能是费马之后会想要修改的 (如果他找到了这本书, 并回头看页边笔记), 因为他后来又写出了 特殊情况的完整证明。如果他自认能解决一般次方, 就不会回到四次方, 提出那种费力的证明。作为一个成熟的数学家, 他后来回头处理特殊情况的事实, 通常被认为是一个非常有力的证据, 显示他意识到: 自己写下页边笔记时野心过大或者可能当时醉了。事实上, 费马解决了比“四次方的总和是四次方”更为一般性的问题。他证明了两个 4 次方的和不可能是一个完美的平方, 也就是说方程式 无正整数解, 这是一个更强的叙述。

他的证明实际上使用的, 是现今所谓的数学归纳法的变形。他的想法是: 如果你有一个 的正整数解, 你可以对 做一些我稍后将解说的分析, 得到一个更小的解 。(有些判断大小的方法，譬如可比较 及 的大小。)费马继续重复这个过程: 若有一个解, 你可以得到更小的解, 而后又有更小的解, 接续不绝。但因为正整数不能小于 1, 你无法生成无限序列的正整数, 其中每个整数都小于先前的整数; 你不能无限下降。因此, 存在正整数解的假设是错误的。在逻辑上这与我们通常使用的数学归纳法一样: 你可先证明没有小于某数值的解, 再以此证明没有稍大的解, 再以此证明没有更稍大的解, 一步一步的证下去, 来证明解不存在。这种方法因此有了一个浪漫的名称: “无限下降的证明(proof by infinite descent)”。

费马如何由一组解 得出另一组更小的解 呢? 他考虑因式分解: , 其中 。等号右边的两个因子都是正数, 它们的乘积是完美的四次方。如果你相信整数系具有质因子分解的唯一性, 而你有互质的两个整数, 它们的乘积是某整数的 4 次方, 则每个因子本身必须也是整数的 4 次方, 于是你可以写下一些辅助方程, 并做一点代数 (我不深入演算), 从而得更小的解 , 以实现无限下降。上面说的其实尚有些漏洞。例如, 一开始 和 的公因子如果是 的话, 则很容易看出 整除 ; 如果 , 则 和 两数也被 整除, 故不会互质, 但在这种情况可取 , , 得到更小的解; 如果 , 则 和 互质, 不过 和 两数不一定会互质, 但你做一些分析后, 会发现 2 是唯一可能的公因子。在 2 整除 和 的的情况下, 做些类似的分析和演算, 也会得出较小解 。

如果你是专业数学家, 且喜欢代数几何, 则你甚或可把费马的方法, 重新翻译成椭圆曲线上的下降(descent)。

对专业数学家来说, 令人尴尬的是, 我们并不确定费马没有证明这个所谓的定理(它在 1990 年代初期才成为定理, 在 17 世纪或 18 世纪并不是定理)。我们相信费马写下页边笔记时构想的证明并不正确, 但也无法确定, 所以仍有一种合理的可能性: 费马确实发现了一些东西, 但因没写下来而已丢失, 世上某些聪明人, 仍有可能透过代数推演及因式分解, 提出聪明的方法来重建论证。这样的想法导致, 每一份数学期刊, 特别是数论的期刊, 都会收到源源不绝的文稿, 声称重新发现了费马在 17 世纪的论证。如果你是期刊编辑, 会深感困扰, 因为你老是收到这些文稿, 而且知道它们是错的。但你是从经验判断它们是错的, 并非因读完文稿才说它们是错的。类似的投稿, 有解决 Goldbach 猜想的、黎曼猜想的, 或物理学的大统一等等的; 看到这些标题, 编辑们就知道麻烦又来了, 但逻辑上, 也不能完全否定它们之中有朝一日出现正确证明的可能。

数论学家 Paulo Ribenboims 是巴西人, 任教于加拿大安大略省的 Kingston 的 Queen's University (已退休)。他为业余人士写了题为《Fermat's Last Theorem》的书。这是一本相当厚实的书, 总结所有已知在费马方程上基本技巧能做的事。如果你有雄心壮志, 想借由基本技巧来证明费马最后定理, 不防从阅读本书起步, 学习所有的东西。也许你能找到些额外的东西, 足以证明这个定理。

畅销书及大众媒体常爱牵扯到费马最后定理, 譬如《龙纹身的女孩》这部小说。我准备演讲时, 向柏克莱的某位数论学者提及此事, 他说: “我们应该告诉众人星际争霸(Star Trek) 的事”。星际争霸是 1960 年代的电视影集, 拥有广大粉丝。你可以去 YouTube 看其中一集"Fermat's Last Theorem of Star Trek"; 在那集中, 主角讨论着: “费马最初的断言已延宕 700 年, 迄今悬而未决”。他们错了, 不过当时写剧本的人, 也无法从心所欲地展望未来。有许多与费马最后定理相关的畅销书, 你可在 Google 图书搜寻关键词“费马”, 并试图排除任何疑似在讨论数学的东西; 你会发现那些痴迷于费马最后定理的小说人物及主角。

费马也出现在名为辛普森的电视影集。值得注意的是, 辛普森的大多数编剧, 在写作时都坚持忠于各种数学。不久前西蒙·辛格(Simon Singh)写了一本关于辛普森的书。西蒙·辛格是英国作家; 他起初是物理学家, 曾在瑞士担任博士后, 之后为 BBC 做纪录片。他曾为费马最后定理制作纪录片(美国称之为 The Proof), 英国广播公司成片后数月, 在美国上映, 也在 YouTube 播出。他拍完这部纪录片后, 热衷于费马最后定理, 写了一本关于它的书。那是一本很棒的书。之后他继续著述, “我曾是物理学家, 曾是纪录片制作人, 现在是科普作家”。他正在写宇宙学、数学、密码学及其他主题的书。他非常棒, 我当然推荐这本关于费马的书( 此书及西蒙·辛格的另一本著作"The Code Book"《码书》有中译本)。

现在我们稍微深入地谈些较为严肃的数学, 但仍以历史的角度来看。费马把 的情况分开处理。而 的情况是希腊人的研究, 实际上并不属费马最后定理; 费马最后定理关乎 。你可能会问: 已知 是如何, 那么 或 时会是如何? 从基本观点来看, 明显的是: 若你能对某指数证明定理, 则也证明了 为该指数的倍数的情况。例如, 你不必担心 8 次方, 因为 8 次方也是 4 次方; 你不必担心 12 次方, 因为 12 次方也是 4 次方。如果你考虑比 2, 3, 4, 5 大的数字, 每个这样的数字都可以用 4 或某奇数的质数来整除。既然费马完成了 的情况, 你只需处理 为质数的情况, 而后套用这个基本的论证。你必须看的是其他质数: 3, 5, 7, 11, 13, 17 等等。因此, 不用处理一般的 , 你仅需考虑 , 为奇质数的情况, 费马方程式通常采此形式。

费马证明 的情况后, 下个世纪中 Euler 处理了 的情况, 他的论证与费马的论证区别不大, 除了他把等号右边 分解成 3 个因子, , 其中 是 1 的立方根, 而不是如同 时分解成两个。在此情况有三个因子, 攸关 3 次单位根 , 因此会涉入更复杂的算术: 不只有整数, 且有 的平方根。这是初等数论的好课题。今天下午有些想学初等数论的人要我推荐书, 我推荐 Niven、Zuckerman 及 Montgomery 写的初等数论好书《An Introduction to the Theory of Numbers》第五版, 此书讨论了在包含 3 次单位根 之数系的算术, 你可以从中理解 Euler 的论证, 确实仅有两三页, 很值得学。

Euler 以降的数年及数世纪里, 数学家确实处理了 及 7 的情况, 但进度缓慢。值得注意的是, 之后数学家开发出一种方法, 能够快速检查: 对于给定的 , 费马方程式是否没有正整数解 (或说费马最后定理在 成立)。这正是你很难向纽约时报记者解释的: 你不能靠有限的计算来真正证明定理, 但对于任何给定的 , 费马最后定理在 是否成立, 确实存在可用数值检验的判别法。检验大的质数 需要使用计算机。例如在 1950、1960 年代, 就能检验出费马最后定理在 成立。如此借由计算机的计算来检验费马最后定理, 着实成果惊人。在 Wiles 宣布结果时, 计算机计算已经验证出: 费马最后定理在小于 400 万的质数都成立, 这是 Buhler, Crandall, Ernvall, Metsänkylä 的工作。有趣的是, 四人的工作发表在Mathematics of Computation (该期刊发表一些有关计算的成果) 时, 并不被看重。大家都知道MathSciNet, 这是美国数学学会的在线系统, 用以对数学论文进行编目及评论; 是美国数学学会的一项杰出产品。实际上, 当时 MathSciNet 评论者对于四人的工作, 只是说: “常见的猜测得到证实: 费马最后定理”。个中牵涉到的运算确实很普通, 而你可以输入任何质数 , 只要大小在计算机可以处理的范围, 即可经由计算机运算检验费马最后定理在 的情况。

回顾历史, Euler 处理了 , 而 Dirichilet 及 Lamé 等人处理了 或 7。在计算机科学时代, 如何从 20 世纪之前的一位数、两位数的 , 转化为非常大的 ? 何以致之? 答案如我之前所述: 你必须做因子分解。费马的论证把等号右边分解为两个因子; Euler 的论证则有三个因子。对于质数 , 是 个不同因子的乘积, , 其中 是选定的 次单位根。你必须引入 次单位根, 它不是 1, 但其 次方是 1; 如果你想把它记成复数, 你可取它为 ; 如果你想抽象些, 你就说你选取了一个, 但不明确说出它的值。现有 个不同因子, 我们可否重复费马在 的论证? 你或许认为: 不同的因子的乘积为完美的 次方时, 每个因子都应为完美的 次方。事实上, 这个想法导致许多人提出了费马最后定理的错误证明。这种证明是错误的, 因为有这种“ 次方必为 次方的乘积”的想法是有问题的。在较复杂的数字系统时, 质因子分解不具唯一性; 如果你的参考经验是普通整数的算术, 可能不会预期此事; 事情并不像你想象的那么好。

人们好奇: 是否这正是费马写下页边笔记时所犯的错误。但数学史学者会告诉你, 在费马的时代, 人们尚未想到这种复杂系统的质因子分解唯一性的问题; 但我们当然不知道实情。对费马能做什么、不能做什么的看法, 总带着臆测性。

有一本书解说了这整个主题, 也是 Paulo Ribenboims 的著作, 是本令人愉快的书。它出版于 1979 年, 以非常亲切的方式向专业数学家讲述费马最后定理迄至当时的一切。这是一本很好的书。

在这次演讲的最后, 我想谈谈我在理想类方面的论文。我本可把时间全用在谈论 Andrew Wiles 以及 1993 年、94 年及 95 年发生的事, 其中有许多重大的历史值得谈, 但我选择最后回到质因子分解的议题。费马最后定理的研究衍生出许多理论, 有些并未被 Andrew Wiles 用于费马最后定理的证明, 但并不意味它们没有价值或有所缺失。费马最后定理的研究, 提供了数学各种不同的工具, 迄今仍被使用。

但在此之前, 容我在很短的时间内, 谈谈 90 年代中叶费马最后定理的实际证明。令人惊叹的是, 它涉及到一个小小的辅助建构, 这个辅助建构源自德国数学家 Gerhardt Frey 在 80 年代初期的构想。Frey 的构想是: 假设 是费马方程式的正整数解, , 考虑辅助的三次方程式: , 这定义了一条所谓的椭圆曲线, 然后再试图导出矛盾。Frey 想到的矛盾的性质是 Wiles 在 Richard Taylor 的帮助下证明的, 他们证明这条椭圆曲线是模的 (modular), 这是说它与模形式 (modular form) 有某种关联。而我在 1986 年证明了该曲线不是模的。这是个反证法, 逻辑上有些复杂难懂。1993 年, 向电视记者解说时, 我必须仔细地考虑自己到底能说什么。

现在来谈谈质因子分解。首先, 把所有的整数及一个 次单位根做所有可能的、有限多次的加、减、乘运算, 建构成了由 次单位根所生成的环(ring)。这个环是否具有质因子分解的唯一性? 答案是: 当 等于 3, 5, 7, 11, 13, 17 和 19 时, 确实如此, 但仅止于这些。不能超过 19; 这是已知的, 23 不是如此。John Masley 和 Hugh Montogomery 在 1970 年代证明(J. M. Masley and H. L. Montgomery, Cyclotomic fields with unique factorization, J. Reine Angew. Math 286/287 (1976), 248-256.): 对于超过 19 的质数, 质因子分解在其对应的环不具唯一性。如果你的论证用到质因子分解的唯一性, 你可能要放弃它, 因为它只适用于我列出的质数, 不能大于 19。

现在来讲一些研究生该知道的专业数学。当你尝试在数学中研习某件事时, 必须有阻碍物(obstruction)的概念, 它阻碍某事发生。在目前情况, 质因子分解唯一性的阻碍物是个有限群, 被称为类群(class group), 因其依赖于其所对应的质数 , 我们写下足标 并记之为 。它是有限的阿贝尔群(abelian group)。(事实上, 在代数数论, 它为有限并非明显的事实, 必须用一些论证才能证明)。由 次单位根所生成的环具有质因子分解的唯一性, 若且唯若它所对应的类群只有一个元素(亦即是平凡群)。令人惊讶的是, Masley 和 Montogomery 证明, 这个群仅当 不大于 时才为平凡群。而你所要做的就是弄清楚超过 19 的情况。

Ernst Kummer

这个主题的大英雄显然是 19 世纪的 Ernst Kummer, 他催生了当代代数数论。他审视涉及质因子分解的论证后证明: 若类群 的阶 (order) 不能被 整除, 费马最后定理在 仍成立。这是 Kummer 的定理。

类群的阶被称为类数(class number)。结构上, 你取此阿贝尔群的 -part, 即 the Sylow -subgroup of , 这个子群是平凡群, 恰当 不能整除类数。譬如, 质因式分解非唯一的首个质数是 , 类数为 3, 不能被 23 整除。当 , 类数不能被 29 整除。当 , 类数也不能被 31 整除。但当 , 类数被 37 整除。如是, Kummer 的定理不适用于所有质数, 但它适用于许多质数。

听众中有人曾问我: 该读什么数论的书? 较进阶的, 我在演讲厅外提到了 Borevich 及 Shafarevich 的书, 我曾从中学习 Kummer 的论证, 你不妨把它当作这个演讲的参考文献。

Kummer 不仅在类数不能被 整除时, 证明了费马最后定理, 而且给出了数值判别法, 使你能够很快判断类数是否可被 整除。

如何得知 37 整除 的阶? Kummer 的判别法涉及伯努利数(Bernoulli number), 它是与指数函数非常相关的某函数之泰勒系数。考虑指数函数, 的幂级数从 1 起头, 将它减去 1, 则差的幂级数以 起头, 将其除以 , 则幂级数再次从 1 起头。对这个从 1 起头的幂级数取倒数, 得到从 1 起头的如下幂级数:

审视它时, 会发现一些你能很快证明的性质。其一是仅 的偶次幂有非零系数, 唯一的例外是 本身, 其系数为 。另外, 非零系数出现于平方项、四次方项等等, 正负号交替。将 的系数乘以阶乘 即为第 个伯努利数 。因此, , , 而 是 除以 之后取倒数:

开头几个伯努利数都是分子为 1 的分数; 是首个分子不为 1 的分数, 其分子为 691。Kummer 的判别法可由这些伯努利数描述。他证明: 类数不能被 整除当且仅当伯努利数列 中各个分数的分子都不能被 整除。你须取成串的伯努利数, 共有 个, 其实是 个, 因为其中一半为零, 你希望其中没有一个分数的分子能被 整除: 若是这样, 则 Kummer 定理的条件就成立, 你就能确定费马最后定理在 成立。

来谈谈它们不能被 整除的概率。不妨将各个分子当成随机数, 则其不被 整除的概率为 。因此, 粗略来说, 满足 Kummer 定理的条件的概率为 , 其中 是你必须检查的伯努利数的个数。令 趋近无穷大, 由微积分得知该概率的极限值为 。这粗略意味着, 对指数 证得费马最后定理的概率为 , 约为 60.65%。亦即, 直观的说, 全部质数中约有三分之二的 , 可据此证明对应的费马方程式 没有非零正整数解。

你或许会问: 1993 年 Buhler, Crandall, Ernvall, Metsänkylä 为上达 400 万的数字证明了定理, 这些数字都属这三分之二吗? 如果你阅读那些书, 会看到改良过的条件。在 Kummer 定理的条件 (意即 不整除类数) 不被满足的情况, 后继者发现了越来越多关于 的条件, 来证明费马最后定理在 成立。它们都是很好的条件, 分别适用于某些质数。而且, 400 万以内的每一个质数 , 都有一个适用条件。但我应该举几个例子来说明 Kummer 判别法失灵的情况。例如, 取 , 则你必须检查 及 之间的伯努利数, 其中 的分子可被 37 整除:

因此 Kummer 的条件对 37 不奏效。另外, 极其著名的是, Kummer 条件在 为质数 691 时也不被满足; 此时你考虑 及 之间的伯努利数, 其中 的分子为 691。这些是不满足 Kummer 条件的质数, 称为不规则质数(irregular primes)。

2001 年, Buhler, Crandall, Ernvall, Metsänkylä, Shorkrollahi 合写的一篇论文验证了: 若你取 1200 万以内的质数, 共有比例约 61% 的质数 满足 Kummer 的条件, 此数值非常接近直观猜测的 。

你可回到 Borevich 和 Shafarevich 的书, 从而可用一些简单的技巧来产生不规则质数, 因而得到无限多个不规则质数。对我来说, 真正神奇的是, 规则质数(regular primes) 理应占多数, 但我们竟不知它们的个数是否无限。在数论中有很多这类的尴尬: 许多非常简单的问题, 答案仍属未知。回首 19 世纪, Kummer 的条件看似适用于大多数质数; 但我们其实无法证明如此的质数有无限多个。这真的非常令人惊讶。

因为演讲的时间有限, 对我在 1976 年左右关于 Kummer 判别法的工作, 我将仅做非常简单的描述。Kummer 判别法是一个非常明确的叙述: 若且唯若某件事是对的, 另一件事才是对的。1976 年时我还在用熟悉的打字机打论文。我在巴黎 IHÉS 研究所使用秘书的办公室, 因为秘书的打字机比数学家的好, 而且我想仔细打些符号及希腊字母。我在午餐时间借用秘书的办公室。哈佛的某著名数学家进来说: “你在做什么?” 我说: “我正在改进 Kummer 判别法”。他说: “为什么要改进 Kummer 判别法? 这是一个判别法, 还有什么可说的? ”答案是: 这个判别法中有 个不同的伯努利数。而你可以把我之前介绍过的类群分解成 个不同的分部 (component)。我初次证明的是: 不同的伯努利数对应于不同的分部。我所以会做这个, 是要检查我正在着手的工作。我不认为这有什么了不起, 以为这已众所周知。我在 IHÉS 吃午餐时(你知道这是该研究所的价值: 你可以在与同事共进午餐时讨论数学), 提到我在检查某事, 于是 John Coates 抬头说道: “等一下。这是未知的。谁证明了它? 它还未被证明。”我很困惑, 这有点像天启的感觉, 我顿时不知道自己正在做什么; 我之前以为这是个已被证明的定理, 我只是给它一个新的证明。

我会再次跳过一些投影片, 因为演讲时间很短。但我想给你看一张 Jaques Herbrand 的照片, 他是 20 世纪早期的逻辑学家兼数论学家。他在画面中央, 非常、非常年轻。他出生于 1908 年, 1931 年去世, 两个年份的间隔不大。他在拍摄这张照片的山中失足身亡, 得年 23 岁或 22 岁。我还是一名学生时, 获悉他的故事, 因为我的室友是一位逻辑学家, 正在翻译他的书"Ecrits logiques" (逻辑写作), 我帮室友翻译与 cyclotomic fields (分圆域) 有关的部分; cyclotomic 意味着切割圆。在书中 cyclotomic fields 被称为 corpus circulaires。我和室友想了解 corpus circulaires 意味着什么, 而我发现它就是 cyclotomic fields (分圆域), 并如此翻译。结果是, 我为伯努利数及类群的分部建立联系时所证明的, 实际上是 Herbrand 过世前隐微证明之叙述的逆命题。他证明: 若伯努利数不能被 整除, 则相应的分部是平凡群。我证明: 若伯努利数被 整除, 则相应的分部就非平凡群。我借由模形式来证明; 我用模形式构建出该分部所对应的类域 (class field)。

我的工作遵循 Serre 在 1967 年撰写的文章, 他在文章中首次将 Galois 表示与模形式联系起来, 或者至少他看到了这种联系; 他没有确实把它们联系起来, 几个月后, Deligne 证明了 Serre 隐微认为必然为真的联系。Serre 这篇具有巴黎风格的数论文章, 充溢着改变数论的奇妙想法, 是我非常用心去了解的。但回溯 MathSciNet 对那篇文章的评论, 评论者对此全然不感兴趣: "作者对拉马努金 函数的结果做了全面评述"。这是整个评论。但 Serre 做的不仅仅这些。他介绍了模形式与 Galois 表示之间的整个联系; 用此联系, 我们才得以证明 Herbrand 的结果的逆命题。

我不会浏览随后的投影片。但事实显示, 在分圆域、有理数等情况下, 观察其扩展, 以及将其嵌入更复杂的事物, 是一种很好的解决问题方式。它让你从试图了解的群, 转换到信息丰富的、较大的群。许多人发现我的技巧适用于其他情况, 而对数论产生了相应的影响。

——整理者陈其诚任教于台湾大学数学系