公元2020年6月23日9时43分，我国在西昌卫星发射中心用长征3号乙运载火箭，成功发射了北斗系统第55颗导航卫星，暨北斗3号最后一颗全球组网卫星。
至此北斗3号全球卫星导航系统星座部署比原计划提前半年全面完成。
谨以此文献给所有有志于星辰大海事业和商业航天产业的小火箭好友们！
前传
两千五百年前，希腊海岸，一袭长袍的泰勒斯，踱步到海边。
水手们停下手中的活儿，准备聆听他最近的心得。
这位成功预测了公元前585年的日蚀的数学家，本身也是一位哲学家。他认为水是万物的起源。
那一天，泰勒斯没有向水手们讲述他测量太阳直径长度和一年时间长短的算法，也没有重提他测量金字塔高度的几何方法，而是向水手们提出了一个建议：
今后，大家在远洋航行的时候，当以小熊座为标杆，而不应当再依大熊座。
小熊座的亮星北极星，也终究因为泰勒斯的理论计算和水手们的大量实践，而成为爱琴海文明中的导航依据。
公元前146年的一个明媚的春日清晨，罗马元帅西庇阿骑在一匹白马上，发出了向迦太基发起总攻的命令。
经过三次布匿战争的洗礼，长达118年的地中海北部巨头罗马和地中海南部巨头迦太基的争霸之战，迎来了尾声。
虽然在第二次布匿战争中，迦太基的战略奇才汉尼拔差点儿灭掉罗马，但是这一次，迦太基即将告别历史舞台。
公元前146年，迦太基已经被罗马围困了3年。
在这个春日的清晨，52万迦太基人中，已没有一位精力充沛的人了。长期的饥饿和抗战，让他们身体疲惫。
但是，
抗争仍在继续。
没有了金属，迦太基最虔诚的祭司们亲手推倒黄金神像，将其融化，制成矛尖和箭头；
磨断了弓弦，迦太基的少女们剪去了美丽飘逸的秀发，然后编制成绳索和弓弦；
用光了木材，迦太基男人们齐心协力，拆毁住房，把房梁劈成木杆，制成长矛杆和箭杆。
罗马人已冲杀进城！
在六天六夜的巷战和肉搏中，在外征战多年，渴望回家的罗马老兵杀红了眼，而殊死一搏的迦太基居民也不甘示弱。
第七天，城内只剩下噼噼啪啪的房屋燃烧声和若隐若现的重伤员的叹息声。
迦太基领袖哈斯德鲁巴带领900人，站上神庙的房顶，准备做最后的抗争。
这里是整个迦太基城邦的制高点。
他环顾四周，远处烟尘漫天，迦太基城的居民已被屠戮殆尽；而近处则是最令他心痛的场景：
他的妻子和3个儿子被罗马士兵包围在神庙前面。
哈斯德鲁巴深知大势已去，为乞求家人安全，他扔下了长矛，准备向罗马元帅西庇阿投降。
哈斯德鲁巴的妻子看出了端倪。她怒声喝道：
“大丈夫死则死矣！你是伟大的迦太基的领袖，是汉尼拔的亲人，身体里流淌着巴卡家族的神圣血液！难道要甘愿成为罗马凯旋仪式上的可耻的点缀么！”
随后，她柔声劝大儿子奔入火海，自己一手领着二儿子，一手抱着还在襁褓中的小儿子，毅然决然地跳入神庙中燃起的火海。
哈斯德鲁巴双眼一闭，跟随妻子和儿子们葬身火海。
至此，称雄地中海700年的迦太基，灭亡。
罗马全城搜捕迦太基的幸存者，尤其是能工巧匠。
然后，罗马元老院的最终命令传来：
将迦太基用火烧尽，把断壁残垣也夷为平地，让战车和士兵在迦太基城的遗迹上来回奔跑并洒满盐粒，让迦太基存在过的痕迹彻底消失，让这片土地甚至长不出一颗青草！
迦太基的大火，燃烧了17个日日夜夜。
船坞中的170艘装备精良的战舰在暴雨中熊熊燃烧，发出了犹如巨鲸般的声音，令罗马随军的历史学家们也悲恸不已。
迦太基城是由地中海东端的腓尼基人所建。
腓尼基人是人类第一个大航海民族。他们最早发现了利用北极星进行远洋导航的原理；最早提出了龙骨的概念，并且用上等木料和防水沥青制造了能够抗击地中海大浪的木制桨帆船。
希腊语和拉丁语中的大船的词根，来自迦太基语言中的澡盆。
因为对于腓尼基-迦太基人而言，只有大海才是让他们身心放松的地方。
迦太基人全都消失了么？
并没有。
300位造船工匠和船舶设计师，存活了下来。
这些人带着人类最先进的造船技术，辗转分布到了罗马、埃及、波斯、雅典和爱琴海诸岛，把人类船舶制造和远洋导航技术的火种保存了下来，并影响至今。
在地球的另一端，有关日夜星辰的技术，自有其发端，在大汉时期到达一个巅峰，在大唐时代，攀上另一座高峰。
公元前104年，大汉武帝太初元年，民间数学家落下闳应汉武帝的请求，与司马迁和其他星官一起，编撰了《太初历》，成为当时世界上最为精确的历法。
《太初历》的影响，持续两千多年，直到今天。凡是过春节的地方，实际上都在依然受着该历法的影响。
落下闳的浑天宇宙学说，奠定了华夏民族在时空领域的领先地位。
其测定的二十八星宿的赤经差，延用近千年，直到大唐开元十三年，也就是公元725年，人们才觉得有必要进行一次修订。
至此，泰勒斯、腓尼基人、迦太基人、落下闳以及后来很多很多的工程师，终于共同努力，建立起了现代的时空观。
大汉落下闳的135个月为朔望之会，与希腊诸先贤以及古巴比伦的沙罗周期，东西交融，熠熠生辉！
北斗
公元2020年6月23日9时43分，我国在西昌卫星发射中心用长征3号乙运载火箭，成功发射了北斗系统第55颗导航卫星，暨北斗3号最后一颗全球组网卫星。
至此北斗3号全球卫星导航系统星座部署比原计划提前半年全面完成。
算上之前在2000年开始发射的4颗导航试验星，20年来，长征3号系列运载火箭成功进行了44次导航卫星发射，先后把59颗北斗导航卫星送入预定轨道，成功率为100%。
至此，在太空，美国GPS、俄罗斯格洛纳斯、中国北斗，三大全球导航星座，共同为全人类提供高精度的导航和授时服务。
有关北斗导航的内容，小火箭认为很多人会聊很多了。
而有关导航的具体工程难点和详细计算方法，却鲜有人提及。
本文，小火箭从工程师的角度，和大家一起探讨。
读罢本文，小火箭期待大家对如下三个问题会有深刻的了解：
第一：为什么说卫星导航星座代表了人类文明对时空认知的一个高度；
第二：卫星导航系统如果要做到米级甚至厘米级的精度，需要具备包括但不限于狭义相对论、广义相对论、萨格纳克理论、电离层电子理论等在内的多少技术准备，以及具体又该怎样做？
第三：阅读本文的大量小火箭好友，今后是要参与或者主导人类未来的星际远征飞船和超级运载火箭设计工作的。咱们从历史的尺度来感慨一番，同时为未来的设计与计算工作进行一些技术铺垫。
本文不是科普文章，小火箭也并非科普账号（否则实在无法解释为什么中国科协始终不给小火箭颁布奖项），因此在此跳过有关卫星导航的原理科普部分。
但是，小火箭是面向当下和未来的星际飞船与火箭设计师的，因此，在计算部分，不仅不会省略，还要尽全力给出我的所知所想。公元1905年，爱因斯坦博士发表了一篇名为《论动体的电动力学》的文章，正式提出了有别于牛顿力学时空观的理论。![]()
狭义相对论就此诞生。所谓狭义，是指该理论，只适用于惯性参照系。基于洛伦兹变换群和相对性原理，狭义相对论描述了一个由运动所带来的时间变慢和尺度收缩的现象，同时为物质的质量和能量之间的关系，提供了阐述条件。
在狭义相对论问世的时候，中国第一条由中国人设计和建造的干线铁路京张铁路，开始动工；驻守旅顺的俄军向日军投降，日俄战争结束；美国的拉斯维加斯从广袤的内华达沙漠中崛起，正式宣布成为一座城市。北斗三代导航卫星M17星，近地点高度21503公里，远地点高度21553公里，轨道倾角54.66°。
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那么，为了让导航星座提供的定位精度达到一定的精确度，真的要考虑狭义相对论么？人类目前的导航星座，无论是美国的GPS还是俄罗斯的格洛纳斯还是中国的北斗，都需要观测到四颗卫星，然后解算方程，来得到时间单维度和空间三坐标这4个参数的解。
有的，实际上不是因为光速这么精确，而是因为米，这个长度单位的定义，自1983年以来就是以真空中的光速来定义的：1米的长度被定义为光在真空中于1/299792458秒内行进的距离。
今后如果有更好的技术，能够实现对光速更精确地度量的话，这个比例关系也不会改变，而要改变的，是米这个单位的长度了。![]()
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速度，是空间除以时间之后得到的物理量。四方上下谓之宇，往古来今谓之宙。速度就是宇/宙的结果，同时也是宇宙对人类的永恒诱惑。真空中的光速为宇宙中最快的速度，同时也是导航星座卫星的电磁波信号向地球表面飞来的速度。当然，介质中的光速是小于真空中的光速的，这就有了在介质中超过光速的可能性。一旦超过，就会产生有趣的切连科夫辐射现象。
上图为小火箭计算中心#1超级阵列计算和模拟出来的幽幽蓝光。与核反应堆中的蓝光相比较，还是非常接近的。
如果我们要想把导航星座的精度达到1米的量级，那么，这个距离误差除以光速，也就能够得到时间误差的量级了：
1/299792458 ≈ 0.0000000033356 秒 = 3.3356纳秒也就是说，凡是让时间误差到达或者超过3.3356纳秒的因素，咱们都要考虑进来，并且要想方设法消除，才能最终让导航星座的精度达到1米量级。
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如上图所示，小火箭取某颗GPS导航卫星为例，按该卫星的轨道位置，可计算得出，该星的飞行速度为3874米/秒，也就是13946.4公里/小时，为复兴号高速铁路速度的40倍。以这样的速度飞行，爱因斯坦的狭义相对论就要找上来了。导航卫星本身所处时空的时间，因为其相对于地球表面的高速飞行，而使其比地球表面的时间要慢一些。
每一天，根据狭义相对论的计算，导航卫星的时钟要比咱们所在的地面，慢出7214纳秒。导航卫星与地球表面的这个时间误差，由狭义相对论得来，换算为定位误差，那就是每天要偏差出2164.2米！
不管现代人类愿不愿意自己推算狭义相对论这个诞生于一百多年前的古老理论，但是人类订外卖和打车的时候，可不愿意自己的定位误差偏出一个小区或者两个街区的距离的。
看来，狭义相对论在卫星导航星座中，是非得考虑不可的一个因素了，否则每天误差高达2公里多的定位系统，断然是难以使用的。
不急，这个误差，其实比起广义相对论误差，还算是小的。或许是单纯为了折磨理论物理学莘莘学子和广大力学工作者，爱因斯坦博士在1905年提出狭义相对论之后，在1915年又提出了广义相对论。
广义相对论，是这么说的：引力场诞生的本质是物质对时空的弯曲。![]()
这下子好了，按狭义相对论，咱们的物体一旦运动起来，那就得用相对论的变换，来拉伸或者压缩时间。
时间这个维度，在狭义相对论里，变成了橡皮筋一般可以拉伸和压缩的了。而到了广义相对论，空间本身是可以弯曲的，就像橡皮薄膜那样。小火箭回想起十几年前，在北航的博士班级教室里，聆听刘启厚老师讲述《泛函理论》时，被巴拿赫空间与希尔伯特空间虐待得生无可恋但又满怀好奇心地想要探寻一点宇宙真理的那段时光。一身朴素的蓝色大褂和满头银发，很难让其他人想到，这位出生于1943年的中国老爷子，两次被国际泛函会议邀请做大会报告，1996年被录入美国世界名人录，是一位泛函理论大师。就在2007年的那个夏日午后，阳光灼热，夏虫鸣响，微风从主楼的窗户徐徐吹来，带来了远古先贤的殷切期许和踏上真理之路的阵阵兴奋。我望向窗外，有那么一个瞬间，宇宙苍穹，星河璀璨，彷佛由黑洞和超新星所支配的那个世界，是触手可及的。当然，当我把眼光放到密密麻麻写满推导过程的4块黑板的时候，那个世界一下子又远了。
泛函理论，庞杂精深。其中的很多算子和理论，对我们了解广义相对论和进行星际飞船的弹道设计，有着至关重要的作用。
如今，小火箭我也是快到四十岁的人了，也终究能够对微分几何、古老的凸优化、广义相对论和压缩不动点理论以及黎曼流形有了一些体会。
于是，大概是轮到我来试着用广义相对论来虐待一下想要成为星际飞船设计师的年轻一代了吧！不过，小火箭还是希望大家能够通过阅读本文体会到愉悦的，因此暂且不进行黎曼的那些事情了。![]()
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小火箭取刚才那颗用于计算狭义相对论误差的导航卫星为例。
按广义相对论的时空观念，咱们地球表面的人类所在的时空，和导航卫星所在的时空，是不同的。因地球引力场的作用，地球表面的时钟的引力比导航卫星所在位置处的引力要强。
广义相对论中，导航卫星的时钟，每日要比地球表面的时钟快45852.48纳秒，也就是0.04585248毫秒！
的确，因广义相对论所带来的误差，是导航卫星系统所面临的最大已知理论误差。
每天因为广义相对论效应而给导航系统带来的误差，足足有13755.744米，也就是将近13.76公里！
因此，想要成为卫星导航系统工程师的小伙伴们，还是真的要好好研究相对论，尤其是广义相对论的。
否则，这一天的误差就能够累积出13.76公里来。粗略来说，10天的累积误差，就基本上是北京到天津的距离了。刚刚提到的狭义相对论效应，是卫星导航时钟比地球表面的慢（因为相对运动）；而现在的广义相对论效应，是卫星导航时钟比地球表面的快，还快不少呢（因为地球的引力场），那岂不是矛盾了？按狭义相对论效应，每日的时钟累计误差为-7214纳秒；按广义相对论效应，每日的时钟累计误差为45852.48纳秒。同时，咱们反过来想，如今人类的导航系统能够实现米级的定位精度了，也就意味着人类对相对论的了解和实际应用达到了一定的高度。
按相对论，人类推测出了黑洞这样的天体存在。这样的天体，表面逃逸速度达到了光速，以至于光也难以从其引力场中挣脱出来。
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为鼓舞大家研究广义相对论的信心，小火箭这里给出由小火箭计算中心升级后的#2超级阵列计算出的黑洞：
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掌握了狭义相对论和广义相对论的计算，我们就可以知道：
对于2万公里轨道高度的导航卫星来说，每天的时钟是要比地面时钟快38638.48纳秒的。按这个计算值来调节卫星的时钟，使之符合相对论时空一致性的要求，就能够大幅提升导航卫星系统的精度了。
以上，狭义相对论的时间膨胀和广义相对论的引力频移，只是小火箭今天要和大家探讨的12种影响卫星导航因素中的其中2种。
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如果仅仅满足于几十米量级的定位精度的话，至此也就可以大功告成啦。不过，如果有志于成为一名优秀的星际飞船设计师的话，还请继续。1913年，也就是爱因斯坦博士提出狭义相对论（1905年）和广义相对论（1915年）之间，一个名为萨格纳克的小伙儿，发现了旋转介质中的光的干涉现象，也就是萨格纳克效应。
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将同一光源发出的一束光分解为两束，让它们在同一个环路内沿相反方向循行一周后会合，然后在屏幕上产生干涉，当在环路平面内有旋转角速度时，屏幕上的干涉条纹将会发生移动，这就是萨格纳克效应。![]()
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旋转平台与光的干涉，让人类掌握了一种新的在惯性空间定位和确定姿态的方法。
人类的陀螺仪技术，也就从机械式到液浮式向微机电以及激光两个分叉来快速发展。
但是，有个事实大家不应忘记：地球也是一个不停转动的平台。因为地球的转动，咱们地球固连坐标系和导航卫星星座自身的坐标系之间，产生了相对转动。因为地球的自转，而带来的导航误差，按时间换算，相当于135.87纳秒。
这个误差，为广义相对论效应误差的337.5分之一。误差看似很小，但是对于咱们追求更高导航定位精度的工程师来说，不可忽略。
实际上，这是小火箭导航定位误差模型中的仅次于广义相对论效应和狭义相对论效应的第三大误差来源。![]()
这个调节，不仅仅是像咱们对表那样，不定期变一下，而是要时刻进行。实际操作，是把10.23MHz的时钟频率从根上给改了。
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人类在发射第一颗人造地球卫星斯普特尼克1号的1957年，就考虑到了地球电离层与卫星信号传输之间的关系了。在茫茫宇宙中，孤零零的斯普特尼克1号怎样把哔哔声传给地面上的人类呢？![]()
康斯坦丁在1918年出生于一个药剂师家庭，但是他从小就热爱飞行而对医学并无太大兴趣。1947年，29岁的他以超强的工程师水准得以进入科罗廖夫团队，成为了一名火箭工程师。1949年，31岁的康斯坦丁获得博士学位。在1957年，已经39岁的康斯坦丁博士因为对火箭和卫星的热爱依然坚持奋斗在科研第一线。这位大叔率先提出了对地球电离层的分析和一整套星际通讯的解决方案。他认为，虽然人类从未在外太空向地球发送过信号，但是通过对电离层的理解和分析，工程师们依然能够给出靠谱的天线设计方案。![]()
通过康斯坦丁博士的努力，斯普特尼克1号卫星的信号发射器的发射频率被锁定为2个：![]()
第一组天线长2.401米，第二组天线长2.903米。![]()
上图是苏联在南极的一支科考队在1957年收到的斯普特尼克1号卫星发送的信号。两个高峰之间的信号为干扰杂波和信号在电离层和地面之间经过多次折射和反射后产生的现象。通过对这些信号的测量和分析，工程师们把电离层F层的厚度从原来200公里的估计值拓展为320公里。![]()
2011年10月21日，一枚联盟号运载火箭点火成功。她要把伽利略卫星从圭亚那航天中心发射到2万公里高的太空。![]()
格洛纳斯项目是苏联在1976年启动的项目，格洛纳斯系统使用24颗卫星实现全球定位服务，可提供高精度的三维空间和速度信息，同时也提供授时服务。按照设计，格洛纳斯星座卫星由中轨道的24颗卫星组成，包括21颗工作星和3颗备份星，分布于3个圆形轨道面上，轨道高度19100公里，倾角64.8°。小火箭从苏联工程师老爷子们那里学到了导航星座与地球电离层之间的关系。
当年手把手教授这些技艺的老爷子们，大多不在了。小火箭凭借记忆，给出相应的计算，也算是对他们的告慰吧！在白天，电离层甚至能够给导航系统带来150纳秒的误差，超过了萨格纳克效应的135.87纳秒。不过，在夜晚，静谧夜空下，电离层误差就只有白天的五分之一，也就是30纳秒了。![]()
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苏联工程师还注意到了对流层对卫星导航信号的影响（第五大误差）。
用上述经验公式，结合狭义相对论和广义相对论，可以弥补90.5%的导航误差了。![]()
众所周知，如果导航卫星能够在一个完美无缺的正圆轨道上运行就好了。
不过，实际上，哪有那么精确的入轨和保持轨道的精度啊！
实际上导航卫星的轨道，比咱们日常生活中见到的足球和篮球，还要圆。2020年6月23日，咱们北斗收官之星发射的时刻：![]()
因为导航卫星的实际椭圆轨道与理论标准正圆轨道所引起的误差，为第六大误差，轨道扁率误差。
对于美国GPS卫星来说，最大误差可以达到23纳秒。综合考虑多普勒效应，这个误差可以达到45纳秒左右。当然，因为如今人类能够对卫星的轨道达到前所未有的精确测量的程度，该误差，也是可以通过技术手段消除的。![]()
地球的赤道半径为6378.137公里，极半径为6356.752公里。![]()
标准篮球的直径为246毫米，高质量篮球的允许生产制造误差为1毫米。那么，这个篮球的扁率就是0.00406，比地球的0.003353的还要大。想起刚才小火箭提到的某颗北斗导航卫星的轨道扁率为0.0000798了么？
一个10层楼高，直径30米的一个圆球，最大直径和最小直径之误差仅为2.4毫米。
回头再说地球这个扁率对导航精度的影响，基本上相当于每天累积有0.45纳秒的误差。
这个误差，是广义相对论误差的101894.4分之一，也就是不到十万分之一。这个不仅仅因为地球的形状，还因为卫星和地球的相对运动。其误差量级，为第七大误差来源的8%，也就是不到十分之一。![]()
月球被地球所潮汐锁定。地月之间的运动，对导航卫星星座所处的时空，也是有着一定影响的。
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这个误差，为第九大误差的一半，能够造成0.18毫米的导航定位误差。
这个误差的绝对值，其实是超过月球和太阳引起的第九和第十大误差的。不过，小火箭之所以把她放在第十一位，是因为这个误差的方向是往缩小的地方去的，是和狭义相对论误差一致，为负值。
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至此，小火箭给出了卫星导航星座的十二大误差来源分析。
最大的，为广义相对论误差，每日累积定位误差为13755.744米，时间误差为45852.48纳秒，也就是0.00004585248秒。第二，为狭义相对论误差，每日累积定位误差为-2164.2米，时间误差为-7214纳秒。之后，是萨格纳克效应的135.87纳秒，带来的定位误差为40.761米。然后是地球大气电离层、对流层的误差，白天在45米量级，夜晚为9米量级。再往后是地球、月球和太阳之间的事情了，最后给出了电磁波本身的特性带来的误差。![]()
本文对小火箭能够想到的所有卫星导航星座的误差来源进行了分析，以此来庆祝中国拥有了自己的覆盖全球的导航星座，并且达到了相当不错的精度。谨以此文献给所有有志于星辰大海事业和商业航天产业的小火箭好友们！
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