神仙打架？光学未来？这根链子什么来头？

来源：科学大院公众号（ID:kexuedayuan）

作者：张飞

比如，项链自然下垂，形成的曲线是什么？

（图片来源：veer图库）

又比如，这座桥的形状又是什么曲线？

（图片来源：veer图库）

那么，这类像在“微笑”的曲线究竟是什么线？抛物线？双曲线？

这类曲线就是今天的主角：悬链线！

悬链线（Catenary）是一种自然形成的曲线，指两端固定的一条均匀柔软的绳索、链条等，在重力的作用下所具有的曲线形状，例如悬索桥、电线等。对悬链线数学形式的探讨最早可追溯到文艺复兴时期。在创作《蒙娜丽莎》时，同作为数学家和画家的达芬奇，做了各种精确的数学计算，来确定人物的比例结构，以及半身人像与背景间关系的构图问题。这样的思维习惯使得他在创作《抱银貂的女人》时思考了一个问题：“固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？”这便是著名的悬链线问题，但可惜的是达芬奇还没有找到答案便去世了。

《抱银貂的女人》（图片来源：wiki）

悬链线问题的提出，在数学上引起了较大的争议。很多人从直观上认为它是一条抛物线，因为它们看起来的确很相似，就连意大利物理学家伽利略也这么认为。在他1638年撰写的《两个新科学》（Two New Sciences）一书中，伽利略提到悬链线可能就是一条抛物线。与伽利略同时期的笛卡尔也有类似的猜测。他在自己的笔记中注释过它可能是某种圆锥曲线，并把抛物线和双曲线都放进了怀疑名单中。此后几十年，几位数学家通过不同的方式证明了悬链线不等同于抛物线。譬如，1646年，荷兰物理学家惠更斯通过物理的方法证明这条曲线不是抛物线，但也未能给出其具体数学函数形式。1669年，德国数学家约阿海姆·永第也证明了悬链线不是抛物线的结论。

悬链线的数学形式

随着自然常数e和微积分方法的出现，1690年，历经170年的悬链线问题终于被惠更斯、莱布尼茨和约翰·伯努力解决，确定了悬链线的数学形式。凭借推出了悬链线表达式，约翰开始公开嘲笑哥哥雅各布·伯努利，他说自己仅仅牺牲了“整整一晚”的休息时间就找到答案，而雅各布却已经与这道题持续搏斗了整整一年。史上第一数学天（家）团（族）的爱恨情仇大戏就此拉开（对上述八卦还不太熟悉的小伙伴，可以移步为抢C位，这个史上第一数学天团都经历了哪些内部纷争？，再次重温一下伯努利家族的“宫斗”大戏）

1917年 安澜索桥。费佩德（美国）摄 沈弘王国平供图（图片来源：四川新闻网）

四川省成都市都江堰早在公元前3世纪就出现了竹制的悬索桥——安澜索桥，最早被称为绳桥或竹藤桥，与赵州桥、卢沟桥、湘子桥和洛阳桥并称为我国著名的五大古桥。唐永隆元年（约公元680年），金沙江上出现了世界上第一座铁索桥——神川铁桥，然而西方国家直到1741年才出现第一座铁索桥。

令人惊叹的是，在我国江南水乡浙江绍兴，发现了迄今为止我国最古老的近似于悬链线拱的石拱桥——迎仙桥，该桥在明万历《新昌县志》有载。由此看来，中国造桥历史悠久，技术高超，古人们在很早以前便在桥梁建设中运用了悬链线。然而，他们却不知道悬链线这种数学曲线，他们的结果完全是从实践中反复摸索、总结出来的。

浙江迎仙桥（图片来源：中国民族建筑网）

悬链线除了存在于桥梁、拱门等建筑中，还存在于娱乐游戏中，譬如有趣的方轮车游戏。如果让方轮车在马路上行驶，那岂不是颠簸不堪？到底有没有办法让方轮车平稳地行驶呢？有，只要让波浪轨道符合一段一段的悬链线方程，方轮车便可在颠簸的路面上平稳行驶。事实上，该结论可以拓展到任意多边形车轮。

方轮车悬链线轨道（图片来源：

http://dy.163.com/v2/article/detail/DP1C1E2U0529LNPR.html）

悬链线问题起源于达芬奇对项链的曲线形式的思考，而悬链线光学起源于研究人员（来自中国科学院光电技术研究所——微细加工光学技术国家重点实验室）对以下问题的思考和探索：等强度悬链线可以保持结构在不同位置受力一致，那么它施加到光上的“力”是否也一致呢？

悬链线从力学牵引至到微纳光学

在解答这个问题前，首先需要对光波进行更为深入的了解。相位、偏振和振幅是光波的三个最基本的物理属性。在生活中，最常见的是对光的相位进行调控，比如我们的相机镜头，它是通过改变镜片的厚度引入不同的相位延迟，从而对光的波前（指等相位面）进行调控，最终实现聚焦等功能。

传统光学元件需要依赖于曲面面形对光束进行调控，因此面临系统笨重、繁杂等诸多原理性问题。在微纳光学领域，研究人员可以通过改变亚波长结构的几何形貌和排列方式，即可在平面上实现对波前的灵活调控。利用亚波长结构来调控相位的原理有多种，其中与悬链线相关的是几何相位原理。几何相位源于光子自旋角动量和轨道角动量间的耦合，通过改变各向异性亚波长结构（比如长方形结构）的旋向引入，其值等于正负2倍旋转角，而符号取决于入射圆偏振光的旋向。

等强度悬链线与x轴的夹角

2015年，研究人员通过对等强度悬链线进行数学分析，发现该曲线同x轴间的夹角ζ与坐标x呈现出绝对的线性关系。这意味在圆偏振光入射时，悬链线结构可以产生绝对线性的几何相位分布（±2πx/Λ），也就是说相位梯度是一个常数（±2π/Λ），因此对光的“力”是一致的。直观的调制效果就好比一个棱镜让光发生偏折，那么通过改变悬链线结构的跨度Λ可以调节相位梯度大小，从而实现任意偏折角度。

与传统棱镜不同的是，悬链线结构不仅是平面的，而且还具有偏振响应特性。如果左旋圆偏振偏往左侧，那么右旋圆偏振光则偏往右侧，这是因为悬链线结构对左右旋圆偏振光产生的相位梯度（即对它们的“力”）是相反的。实现上述左右旋圆偏振光分离的手性响应现象被称之为光子自旋霍尔效应。由于绝大多数生物所需的营养素，例如氨基酸和葡萄糖，其分子结构都具有固有的手性特征，因此自旋霍尔效应对于手性分析、生命探测等领域具有应用前景。

悬链线结构实现光子自旋霍尔效应[1]

利用单个或者周期性的悬链线结构能实现光束偏折，那么通过将不同跨度的悬链线结构按照一定规律进行排布，可以实现更多的功能。譬如，利用“蜘蛛网”分布的悬链线结构可以生产完美涡旋光，让光像水涡旋一样“转起来”，可用于操控和捕获微粒。涡旋光携带轨道角动量，而判定轨道角动量大小的物理量称之为拓扑荷，理论上拓扑荷可以是负无穷到正无穷，因此涡旋光在光通信中也具有重要的应用价值。

不仅如此，一系列平面光学器件均由悬链线结构实现，比如平面聚集镜、贝塞尔光束产生器、艾里光束生成器等[2,3]。然而，对于传统光学元件，若要实现上述功能，通常需要毫米甚至厘米量级的厚度，且需要曲面面形，而悬链线结构的厚度小于波长，尤其是对于可见光波段仅为纳米量级。因此，悬链线结构为实现轻量化、平面化、集成化的光学器件和系统提供了一种新的技术方案。

“蜘蛛网”分布的悬链线结构产生完美光涡旋[4]

那么，悬链线结构相比于普通离散结构有何优势呢？在以往的研究中，研究人员通常利用离散型结构去实现相位调控，但这样的方式存在波前采样率受限的瓶颈问题，导致器件的效率和带宽存在原理性限制。譬如，对于大角度偏折的微纳器件，在一个采样周期内通常只能容纳两到三个离散单元结构。根据衍射理论，二阶相位能实现的最大衍射效率仅为40.5%，但悬链线结构几乎不存在这样的限制，因为它能够实现连续的相位分布。通俗地讲，由悬链线结构构成的微纳光学器件对光的调制效果就好比一张超高分辨率的图片，而离散结构则会极大程度降低图片分辨率，使得图片呈现出马赛克形貌，无法从中得到细节信息。

当然，减小离散结构的周期可以提高波前采样率，但是这也会加大工艺难度，同时也会增强近场耦合，从而降低其光学性能。悬链线结构可以很好地兼顾器件性能和工艺可行性，因此被认为在下一代平面光学中具有重要作用[5]。

随着对悬链线光学研究的不断深入，研究人员从悬链线结构拓展到悬链线电磁调控物理模型[6-8]，用于揭示亚波长结构与电磁波相互作用的物理机理，并进一步将悬链线光学的概念推广到悬链线电磁学[6,9]。

研究发现，金属亚波长结构间的电场和磁场强度分布可以用悬链线函数表述，结构的色散方程也可用悬链线函数表述。该特性有助于分析亚波长结构与电磁波耦合的物理本质，通过建立结构尺寸与其悬链线场和悬链线色散的数学关系，可以快速得到部分亚波长结构的电磁响应特性，包括振幅、相位、电磁场分布等。通常情况，微纳器件的设计通常采用专业电磁场仿真软件，使用参数扫描和人工择优的正向设计方法，存在耗时长、难以最优化等问题。在未来的研究中，悬链线电磁模型若与深度学习、人工智能等计算机技术结合，将有望实现微纳器件的快速逆向设计，也就是说研究人员只需要输入目标函数，计算机就会反馈结构形貌。

基于构建的悬链线电磁模型[6-8]，研究人员发展了一系列功能材料和器件，例如跨波段电磁调控器件、虚拟赋形材料、薄膜天线等[10-13]。目前，对悬链线光学的研究还在持续，更多的新现象和新应用还有待发现。我们有理由相信，今后还会发现更多与悬链线相关的新奇现象和应用。

利用悬链线电磁调控模型设计的平面天线[6]

历史上，许多重要的科学突破均源于对自然界普遍现象的深入思考，悬链线就是最好的例子。从最初对项链曲线形式的简单思考，发展到数学问题的深入研究，再到建筑学领域的广泛应用。又因科研人员的奇思妙想引入微纳光学领域，并形成悬链线光学，为亚波长电磁学研究奠定了一定的理论基础。未来，当你看到脖子上的项链、天空的电缆、树枝上的蜘蛛网等等，是否会想起悬链线呢？或者，当你再次踏足安澜索桥或者目睹迎仙桥时，除了被中国古人的智慧所震惊，是否还会启发你其他的思考呢？