知道搞怪的费曼，但你知道费曼图吗？ | 量子群英传

图20-1：费曼图

撰文 | 张天蓉

责编 | 宁 茜 吕浩然

大战后有关量子场论的3次重要会议，都是由美国理论物理学家奥本海默（Julius Robert Oppenheimer，1904-1967）主持的，这3场会议主要讨论量子电动力学。

在公众眼里，奥本海默以在1942年到1945年期间领导曼哈顿计划（Manhattan Project）著称，实际上他也是一位做出多项接近诺贝尔奖级别成果的著名物理学家，他在性情和人格方面颇具特色与魅力。  

奥本海默，图片来源：Wikipedia

奥本海默出生于纽约一个富裕的犹太人家庭。父亲是德国移民，从事纺织品进口生意；母亲是一名画家。第二次世界大战后，曼哈顿计划被公诸于世，奥本海默也在全美国成为了科学的代言人。1947年他出任普林斯顿高等研究院的院长，之后他云集了一大批各个领域的尖端人才。理论物理方面，包括几位在当时还非常年轻的物理学家：杨振宁、李政道以及后来的弗里曼·戴森（Freeman Dyson，1923 -2020）等。受奥本海默邀请到高等研究院做研究的，还有笔者在奥斯丁大学读博时的导师塞西尔·莫雷特（Cecile Morette，1922-2017），以及她后来的丈夫布赖斯·德威特（Bryce DeWitt，1951–2004）。可以想象，当年奥本海默邀请的女学者不会太多，塞西尔是其中一个，这使笔者引以为傲。

奥本海默主持的第一次场论会议，是上一节介绍的1947年谢尔特岛会议，第二次是波科诺会议。

这是1948年4月在美国宾夕法尼亚州波科诺山的一个庄园度假酒店举行的会议，有28位精英物理学家参加，对比谢尔特岛会议，有增有减，增加的比较重要的人物是玻尔（Niels Henrik David Bohr，1885-1962）和狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902 -1984），其余人中，无与伦比的费曼（Richard Feynman ，1918-1988）和天才的施温格（Julian Schwinger，1918-1994）仍然在场，应该是这次会议的主角。

历史地看，此次会议见证了一个量子物理领域开创性的时刻——著名的“费曼图”（Feynman Diagram）首次公开亮相。但实际上，当时的费曼远不如施温格风光，费曼图并没有受到热烈欢迎。

那天，从哈佛来的施温格堪称年轻的英雄，会上表现引人入胜：他用几乎一整天的时间详细解释了他的正则量子场论及重整化数学方法。尽管不是人人都喜欢繁琐的数学计算，但那是与会的大多数物理学家们熟悉的拿手好戏。不仅如此，施温格高超的数学技巧和雄辩的口才也让在场人士心服口服。

等到费曼的演讲真正开始时，就人们的心理状态而言：一天已经结束了！所以，费曼的演讲显得匆匆忙忙。他画图解释QED（量子电动力学）的一个简单实例，却经常被打扰：玻尔以为它们违反了泡利的不相容原理（Pauli's exclusion principle），起身走近黑板，发表了有关泡利原理的长篇演讲；狄拉克则反复提出他所谓的归一化问题，即根据费曼系统计算出的概率是否加起来等于1。总之，听众中似乎没有人弄懂了这些看上去莫名其妙的线条图。

虽然这次会议之后不到一年的时间内，大家就认识到了费曼图的优越性，但当时费曼会上的演讲的确没有得到应有的关注。即使是费曼在康奈尔的好朋友贝特（Hans Bethe，1906-2005），也不明白费曼的演讲。

在费曼那些奇怪的图形中，甚至包括在时间上往回走的电子路线。费曼在1964年他的诺贝尔演说中也提到这个貌似“疯狂”的想法，说是从他的老师惠勒（John Archibald Wheeler，1911 -2008）那儿“偷来”的。

1965年的诺贝尔物理学奖，颁发给了费曼、施温格以及日本的朝永振一郎（Sinitiro Tomonaga，1906-1979）三人。三人中除了费曼外，其余两人解决问题的思路大同小异，实际上可说是前辈物理学家们思路的延续。而费曼的想法独一无二、别具一格，对其稍加探索，可以给后人做学问以启迪。

1940年秋的一天，费曼在普林斯顿大学研究生宿舍里，接到他的博士导师约翰·惠勒打来的电话：

图20-2：单电子宇宙

惠勒半玩笑半认真地解释了他的想法：宇宙中所有的电子可能是唯一一个电子的世界线在整个宇宙里复杂循环所形成的。因此，我们看到的电子都是一模一样的，因为它们实际上就是一个电子。如果我们截取整个宇宙的任一时刻，一半电子的世界线会在时间中向未来行进，另一半会在时间中向过去行进。惠勒说，在时间上往回运动，即由将来返回到过去，实际上就相当于一个时间上向前的电子的反物质——正电子。

费曼被惠勒疯狂的想法震惊，提出一个显然的疑问：“如果那样的话，电子和正电子的数目应该一样多啊。但我们实际观测到的电子应该要远远多于正电子不是吗？在理论上也是这么认为的。”对此，惠勒推测说：“可能有未被观测到的正电子隐藏在质子中。”

如今，已经没有必要评论这个无法想象的单电子宇宙图景正确与否，但它具有哲学意义的思维方法启发了费曼，特别是将反粒子看作时间上“逆行”的正粒子这个图像，深深地印在了费曼的脑海中。费曼在1949年发表的《正电子理论》论文中正式提出“正电子是电子在时间中逆行”的说法。后来南部阳一郎（Yoichiro Nambu，1921-2015）把这个想法扩展到正反物质对的产生与湮灭，认为真空中不断发生的正反物质对的创生与湮灭，实际上是粒子在时间这一维度上运动方向的改变。

图20-3：从单电子世界到费曼图

量子力学中，电子是没有“轨道”概念的，但是为了理解惠勒与费曼讨论的“单电子”图景，不妨假想一个电子在时空中的运动轨迹，是如图20-3（左图）所示的红色折线。当折线上的箭头所指是时间正方向时的线段就代表电子，反之则代表正电子。我们再进一步想下去：电子为什么会突然转回头变成正电子了呢？一定是与某种东西相互作用了，这样才能满足能量守恒和动量守恒。

如果将考虑的范围限制在QED中的话，那就没有别的东西，只有与光子作用的可能性了。也就是说，QED中电子、正电子与光子，可以用图20-3（右图）中的右上角的符号来表示，红色为电子、深蓝色为光子、蓝绿色为正电子；而右下方三者于中心顶点交汇的“图”，则表示了它们之间的相互作用，这也算是一个最简单的费曼图。

必须注意，费曼图描述的并不是电子、正电子运动的严格几何轨迹，可以看作一种“拓扑”结构。例如，图20-3（右下图）是正负电子对湮灭而产生光子的过程。总之，费曼的图像能帮助我们对场论中的相互作用进行直观的形象思维。更重要的是，费曼图简化了场论中的计算。在图20-3以及之后的图中，我们都用垂直向上表示时间增加，水平方向代表空间。

费曼一直想把中学时代震惊他心灵的“最小作用量原理”应用于解决量子力学问题。回顾物理学的历史，无论是牛顿力学，还是电磁理论，都可以有多种等效的表达方式，其中也包括了用作用量的方式来描述物理规律。量子力学也是这样，薛定谔方程（Schrödinger equation）和海森堡的矩阵力学（matrix mechanics）是等效的。因此，费曼在潜意识中相信他将作用量原理用于量子问题的想法是能够成功的。然而，他却一直苦于找不到量子力学中作用量的正确表达式，直到一位欧洲学者介绍他看了狄拉克的文章，才帮助费曼将最小作用量原理成功地用于量子而发明了路径积分（path integral）。

量子力学路径积分描述方法的优越性，在于它能很方便地向经典物理过渡。在经典物理中，如果用最小作用量原理描述粒子从时空点A到时空点B的运动，是沿着A到B的单一轨道积分，如图20-4a；而在量子力学中，是沿着粒子能从A走到B的每一条可能的路径，即每一种可能的“历史路径”进行积分，如图20-4b。量子力学中电子从A到B的总概率幅等于所有路径的概率幅相加。如果使用微扰论作近似计算的话，可以仅仅考虑经典路径及其周围的路径，忽略其它的。由此可以清楚地看出经典与量子的关系。

对量子场论而言，应该说，是沿着系统的所有“状态路径”求积分。这里的“状态路径”，就是一个一个的费曼图。如何理解这点？请看图20-4c。

图20-4：最小作用量原理（从经典力学到量子场论）

量子力学描述的是单个粒子从A点到B点的概率；量子场论描述的是（多粒子）系统从输入状态A到输出状态B转换的概率。例如，考虑两个电子散射的问题。如果把电子当作经典粒子，两个电子在库仑力的作用下互相排斥而散射，如图20-4c中左上图。20-4c的右上图是从量子场论的角度看待这个散射问题：输入态A到输出态B，两个电子到两个电子，有无限多种转换方式。因此，在图中我们将其中间过程用一团未知的云雾来表示。

费曼图是解释这团云雾的一种方法。费曼根据电子和光子相互作用的程度来分解这团云雾，如图20-4c下图所示：首先考虑两个电子散射的最简单情况（等号后的第一图），其中一个电子将发射一个虚拟光子，该光子将被另一个电子吸收。这个费曼图描述的是两个顶点的情况，图中顶点数的多少决定了该费曼图对散射截面（总概率幅）的贡献，顶点数越多贡献就越小（成指数减小）。

QED中只考虑电子场和光子场，两种场之间的所有相互作用，可以用与图20-3右下方所示的、转动不同的角度而得到的类似的6种顶点图来描述。不同数目的各种顶点图之组合，可以构成无穷多种费曼图。例如对上述的两个电子散射而言，实际情况中，电子可以以多种方式散射，以多种复杂的方式交换光子：电子之间可以不止一次地交换光子；电子在飞行中还可能分解成虚拟的电子-正电子对，进而湮灭以形成新的光子；费曼图中还可以包括各种各样的圈图等等。

费曼图对总概率幅的贡献随着图的复杂程度的增加而减小。也就是说，最简单的图贡献越大。所以，往往考虑少量几个顶点少的低阶图，便能够得到不错的结果。这个原则使得根据简单的几个费曼图进行计算，便能成为现实（实验）的良好近似。

当然，费曼图是物理界的珍贵资产，不仅仅是因为它们看起来简单、直观又有趣，而是因为通过它们，能够跟踪一个相当复杂的积分方程的所有元素。它们不仅能帮助我们通过想象来研究无法看到的世界，实际上还是一个强大的计算工具。为了达到计算的目的，费曼图有一系列简单的规则，来对应和跟踪积分中的所有数学术语，它叫做费曼规则。

图20-5：费曼规则

费曼将简单的数学公式对应到每个图，代表图中过程发生的可能性。利用图20-5右表中图元素与算符的对应关系，不难将图20-5左下方的费曼图，对应于左上方的数学公式。按照类似的对应方法，再复杂的图也都可以写出对应的数学公式，然后再进行积分运算，便能得出相应的概率幅。