CICC科普栏目丨如何让你在10分钟内了解拓扑变换

本文来源：超级数学建模

拓扑变换

这脑洞够大

今天，超模君在查看后台留言的时候，被一条留言吓到了：

这样要干嘛的节奏吗。。。

不过定睛一看，留言的是个男的（顿时生无可恋）。。。

生无可恋的超模君开始怀着忧伤的心情分析这个问题：虽然不知道这位模友留言是何想法，但从科学的角度来分析的话，答案是肯定的。

不就是拓扑变换嘛。

而讲到拓扑变换，超模君首先要安利一本《结绳游戏健脑操书》，V. V. Prasolov 的 Intuitive Topology 。

在这本书中，作者脑洞大开，给各位读者介绍了五个非常有趣的“拓扑变换”谜题。

（游戏规则：假设所有物体都是用橡胶做成的，可以随意地拉伸、挤压、弯曲，但不允许切断、粘连等任何改变图形本质结构的操作。）

1. 能否把左图连续地变形为右图？

2. 能否把左图连续地变形为右图？

3. 左图所示的立体图形表面画有一个圆

能否通过连续变换

把这个圆变到右图所示的位置？

4. 在一个轮胎的表面上打一个洞

能否通过连续变换

把这个轮胎的内表面翻到外面来？

5. 能否把左图连续地变形为右图？

先留10分钟给大家思考

别急着往下拉

***********************************************

是不是忍不住要偷看答案了。。。

***********************************************

1. 能否把左图连续地变为右图？

我们沿着箭头对左图进行变换，：

有意思的是，假如我们人类的身体可以像橡胶人一样任意变形，那么用两手的拇指和食指做成两个套着的圆环之后，我们可以不放开手指，把圆环给解开来。 

《Algorithmic and Computer Methods for Three-Manifolds 》

一张非常漂亮的示意图

而更加有趣的是，如果橡胶人手腕上多了一块手表，那上述方案就不能得逞了：

2. 能否把左图连续地变为右图？

 
    让我们再沿着箭头的方向，看看怎么让圆环解脱

3. 左图所示的立体图形表面画有一个圆。

能否通过连续变换

把这个圆变到右图所示的位置？

答案：是可以的，如下图所示：

4. 在一个轮胎的表面上打一个洞。

能否通过连续变换

把这个轮胎的内表面翻到外面来？

首先，先把一个表面有洞的轮胎本质上等于两个粘在一起的纸圈！

不过，注意纸圈 1 和纸圈 2 的地位不太一样：一个是白色的面（即最初轮胎的内表面）冲外，一个是阴影面（即最初轮胎的外表面）冲外。现在，把纸圈 2 当成原来的纸圈 1 ，把纸圈 1 当成原来的纸圈 2 ，倒着把它们变回轮胎形，轮胎的内外表面也就颠倒过来了。

 
有趣的是，把轮胎的内表面翻出来之后，轮胎上的“经线”和“纬线”（姑且这么叫吧）也将会颠倒过来：

 
维基百科上有一个巨帅无比的动画，直接展示出了把一个圆环面的内表面翻到外面来的过程。

此动画看着非常上瘾，小心一看就是 10 分钟！

5. 能否把左图连续地变为右图？

 
我们继续沿着箭头方向进行变化。

于是就变成了问题 1 中的图 (a) 。

再利用问题 1 的办法

即可变出我们想要的形状来。

看到这里，那开头在不脱掉长裤的情况下换掉底裤的问题自然也就迎刃而解了

关于拓扑，一直都是数学领域最具脑洞的分支，江湖上还流传着这么一个传说：

拓扑就是揉橡皮泥，研究被各种揉过的各种橡皮泥，以及研究怎么揉橡皮泥。

先不说了，超模君要去揉橡皮泥了，说不定明年的诺贝尔、菲尔兹、吉尼斯、格莱美、奥斯卡、劳伦斯、普立策、福布斯…… 的颁奖典礼能观看到。。。

生命真美好，依然假装充满着无限的可能性。

📚往期文章推荐

云控制系统及其应用前景探析

第五届中国（北京）军民融合技术装备博览会将于明年7月举行！

投稿邮箱：liuyali@c2.org.cn

长按下方二维码    免费订阅！