CICC科普栏目丨5个看似“简单”的数学问题至今却无人能破

中国指挥与控制学会

本文来源：超级数学建模

今天要讲的是5个有趣的问题，问题本身简单易懂，但迄今仍未被数学家们解决。

1. Collatz 猜想

随意选一个整数，如果它是偶数，那么将它除以2；如果它是奇数，那么将它乘以3再加1。对于得到的新的数，重复操作上面的运算过程。如果你一直操作下去，你每次都终将得到1。

数学家们试验了数百万个数，至今还没发现哪怕一个不收敛到1的例子。

然而问题在于，数学家们也没办法证明一定不存在一个特殊的数，在这一操作下最终不在1上收敛。有可能存在一个特别巨大的数，在这一套操作下趋向于无穷，或者趋向于一个除了1以外的循环的数。

但没有人能证明这些特例的存在。

2. 移动沙发问题

你要搬新家了，想把你的沙发搬过去。问题是，走廊有个转角，你不得不在角落位置上给沙发转方向。如果这个沙发很小，那没什么问题。如果是个挺大的沙发，估计得卡在角落上。

如果你是个数学家，你会问自己：能够在角落上转过来的最大的沙发有多大呢？这个沙发不一定得是矩形，可以说任何形状。

这便是“移动沙发问题”的核心，具体来说就是：二维空间，走廊宽为1，转角90°，求能转过转角的最大二维面积是多少？

能转过转角的最大二维面积被称为“沙发常数”（the sofa constant）——这是真的，我不是骗你读书少。

因为根本就没人知道它到底有多大，但我们知道有一些相当大的沙发可以转得过去，所以我们知道沙发常数一定比它们大；也有一些沙发无论如何都转不过去，因此沙发常数一定比这些转不过去的面积小。

迄今为止，我们知道沙发常数落在2.2195到2.8284之间。

3. 完美立方体问题

各位模友，应该都还记得勾股定理，a²+b²=c²吗？

a、b、c三个字母表示直角三角形的三边长。毕达哥拉斯三角形指的是三边长都是整数的直角三角形，即满足a²+b²=c²且a、b、c都是整数。

现在我们将这个概念扩展到三维，在三维空间，我们需要四个数a、b、c和g。前三个数是立方体的三维边长，g是立方体的空间对角线长度。

正如有些三角形的三边都是整数一样，存在一些立方体的三边和体对角线（a、b、c和g）都是整数，但对于立方体来说还有三个面对角线（d、e和f），这就带来一个有趣的问题：有没有立方体满足这个7个边长都是整数的条件呢？

问题的目标在于找到一个立方体满足a²+b²+c²=g²，且全部的边和对角线长度都是整数，这种立方体被称为完美立方体（perfect cuboid）。

数学家们测试了各种不同的可能构型，还没找到任何一个满足条件的情况。但他们也不能证明这样的立方体不存在，因此搜寻完美立方体的工作还在继续。

4. 内接正方形问题

随手画一个闭合曲线，这个曲线不一定要是圆，可以是任何你想要的形状，但曲线的起终点必须重合且曲线不能穿越自身，在这个曲线上可能找到四个点连成一个正方形。

内接正方形假设的内容就是，每条闭合曲线（确切来说是每个平面内的简单闭合曲线）一定有一个内接正方形，这个正方形上四点都在这个闭合曲线上的某处。

许多闭合曲线上内接其他形状的问题都已经得到了解决，例如矩形或者三角形等，但正方形却有点复杂，至今数学家们还没有搞明白这个问题的正式证明。

5. 美好结局问题

这个问题之所以被命名为“美好结局问题”，是因为它促成了一对数学家的美好姻缘：数学家George Szekeres和Esther Klein都曾致力于解决这一问题，他们最终结婚了（而这个问题仍未解决）。概括来说，这个问题是这样的：

在一张纸面上随机放置5个点，假设这5个点排布不特殊（比如排在一条直线上），你总能找到其中四个点构成凸四边形，也即四个边夹角小于180°的四边形。这个定理的要点在于，不管这5个点的位置排布如何，你总能在5个点中构造一个凸四边形。