CICC科普栏目丨10个最酷的数学成果，你妈叫你回家做数学！

中国指挥与控制学会

数学产生的结果有时是美丽的、令人难以置信的，或者仅仅是意想不到的。结果如下：

1、四色定理

四色定理

四色定理最早是在1852年由一个叫Francis Guthrie的人发现的，他当时正在尝试在英格兰所有的郡的地图上涂上颜色。没有多少事要做。他发现了一件有趣的事，他只需要最多四种颜色，就可以确保共享边界的所有线都不会有相同的颜色。Guthrie想知道这是否适用于任何地图，而这个问题成了一个多年未解决的数学好奇心。

1976年，这个问题终于由肯尼思·阿佩尔和沃尔夫冈·哈肯解决了。他们发现的证据相当复杂，部分依赖计算机，但它指出，在任何政治地图中，只需要四种颜色来给每个国家着色，这样就不会有同一种颜色的国家接触。

2、布劳威尔不动点定理

布劳威尔不动点定理

这个定理来自于数学中的一个分支，叫做拓扑学，是由Luitzen Brouwer发现的。虽然它的技术表达是相当抽象的，它有许多迷人的现实世界的含义。假设我们有一张照片（比如《蒙娜丽莎》），我们可以拿一份。然后我们可以做任何我们想做的事情，让它变大，让它变小，旋转它，弄皱它，什么都行。布劳威尔的不动点定理说，如果我们把这个副本盖过我们的原始图片，必须有至少一个点，在副本上，是完全超过了原来的点。它可能是蒙纳的眼睛、耳朵或可能的微笑的一部分，但它必须存在。

这也是三维的：假设我们有一杯水，我们拿着勺子，想搅拌多少就搅拌多少。根据布劳威尔定理，至少会有一个水分子，和我们开始搅动之前的位置是完全相同的。

3、罗素的悖论

罗素

在20世纪之交，许多人被一个叫做集合论的新的数学分支迷住了。基本上，集合是对象的集合。当时的想法是，任何事情都可以变成一套：所有类型的水果组合和所有美国总统的组合都是完全有效的。另外，这一点也很重要，集合可以包含其他集合。1901年，著名数学家伯特兰·罗素意识到这种思维方式有一个致命的缺陷，那就是，没有任何东西能被做成一套。

罗素决定对事物进行元分析，并描述了一个包含所有那些不包含自己的集合。所有水果的集合本身并不包含，所以它可以和其他许多水果一起包含在罗素的集合中。但罗素的布景又如何呢？它本身并不包含，所以它也应该包括在内。但是等等……现在它确实包含了它本身，所以我们自然要把它取出来。但我们现在必须把它放回去等等。这一逻辑悖论引发了对集合论的彻底改革，集合论是当今数学最重要的分支之一。

4、费尔马最后定理

费尔马最后定理

还记得毕达哥拉斯学派的定理吗？它与直角三角形有关，并且表示两个最短边的平方和等于最长边的平方(x平方+y平方=z平方)。Pierre de Fermat最著名的定理是，如果用大于2的任何数替换平方（例如，不能说x立方的+y立方的=z立方的立方），那么这个等式就不成立，只要x、y和z是正整数。正如费马自己写的：“我发现了这方面的一个真正奇妙的证据，这个空白处太窄了，难以容纳。”这真的太糟糕了，因为当费马特在1637年提出这个问题时，它已经有一段时间没有得到证实了。有一段时间，我的意思是，它在1995年被一个叫安德鲁·威尔斯的人证明了。

5、世界末日论

这篇文章的大多数读者都是人，这是一个相当合理的假设。作为人类，这个条目将特别发人深省：数学可以用来确定我们物种何时会灭绝。不管怎样使用概率。

这个论点基本上是说，人类的时间差不多到了。这个论点的一个版本（归属于天体物理学家J.Richard Gott）出奇地简单：如果一个人认为人类的整个生命周期是从出生到死亡的时间线，那么我们就可以确定我们现在所处的时间线。

因为现在只是我们作为一个物种存在的一个随机点，所以我们可以用95%的准确率说，我们处在时间线的中间95%的位置。如果我们现在说，我们正好是进入人类生存的2.5%，我们就得到了最长的预期寿命。如果我们说我们有97.5%的人生活，那我们的平均寿命就最短了。这使我们能够得到人类预期寿命的范围。根据哥特的说法，从5100年到780万年之间，人类死亡的概率是95%。所以，这就是你要做的，人类最好把它列在那张遗愿清单上。

6、非欧几里德几何

非欧几里德几何

另一点你可能会记得从学校是几何学，这是一部分数学涂鸦在你的笔记是重点。我们大多数人所熟悉的几何学叫做欧几里德几何学，它是基于五个相当简单的自明真理，即公理。它是线和点的规则几何，我们可以在黑板上画出来，在很长一段时间里，它被认为是几何学工作的唯一方式。

然而，问题在于，欧几里德在2000多年前所描述的不言而喻的事实，并不是每个人都如此不证自明。有一条公理（称为平行公设）从未正确地适用于数学家，几个世纪以来，许多人试图使它与其他公理相协调。在18世纪初，人们尝试了一个大胆的新方法：把第五个公理简单地换成别的东西。一个新的几何学系统被发现，而不是破坏整个系统的几何学，现在被称为双曲几何学。这导致科学界发生了彻底的范式转换，并为许多不同类型的非欧几何打开了大门。其中一个比较突出的类型叫做黎曼几何，它被用来描述爱因斯坦的相对论（有趣的是，我们的宇宙不遵守欧几里德几何！）

7、欧拉公式

欧拉公式

欧拉公式是这个列表中最强大的结果之一，这要归功于有史以来最多产的数学家之一，Leonhard Euler。他一生中发表了800多篇论文，其中许多是瞎子。

乍一看，他的结果看起来非常简单：e^(i*pi)+1=0。对于那些不知道的人，e和pi都是数学常量，它们出现在各种意想不到的地方，而我代表的是假想单位，一个数等于-1的平方根。关于欧拉公式，值得注意的是它是如何将数学中五个最重要的数（例如，pi，0，和1）组合成这样一个优雅的方程的。物理学家理查德·费曼（Richard Feynman）将其称为“数学中最显著的公式”，其重要性在于将数学的多个方面统一起来的能力。

8、图灵的万能机器

万能机器

我们生活在一个由计算机控制的世界里。你现在正在电脑上阅读这份清单！不用说，电脑是20世纪最重要的发明之一，但如果你知道电脑的核心是理论数学，这可能会让你吃惊的是，它的核心就是从理论数学领域开始的。

数学家艾伦图灵开发了一个理论对象称为图灵机。图灵机就像一台很基本的计算机：它使用一个无限长的磁带和3个符号（比如0,1和空白），然后操作一组指令。指令可以是将0更改为1，将一个空格向左移动，或者填空并向右移动一个空格。这样，图灵机就可以用来执行任何定义良好的函数。

图灵接着又描述了通用车削机，它是一种图灵机，可以用任何输入模拟任何图灵机。这基本上就是存储程序计算机的概念。图灵只使用数学和逻辑，在技术甚至可以制造一台真正的计算机之前，他就创建了计算机科学领域。

9、无限的不同层次

无穷大已经是一个很难掌握的概念。人类不是生来就能理解无穷无尽的事物的，正因为如此，数学家们对无穷大一直持谨慎态度。直到19世纪下半叶，乔治·康托才发展出数学中称为集合论的分支，这个理论使他能够思考无穷大的本质。而他的发现确实令人难以置信。

结果是，每当我们想象无穷大，总会有不同类型的无穷大。无穷大的最低级是整数的量（1，2，3…），它是一个可数无穷大。通过一些非常优雅的推理，Cantor确定在这之后还有另一个无穷的级别，即所有实数的无穷大。这种无限是不可数的，这意味着，即使你在宇宙中拥有所有的时间，你也不可能列出所有的实数，而又不失一些。但是等一下，事实证明在那之后还有更多不可数的无穷级。有多少？当然是无限的数字。

10、哥德尔的不完全性定理