飞机工业的数学翅膀

飞机是现代工业最重要的分支。飞机制造公司（包括相关研究机构）之间存在竞争，其目的是创造优于竞争对手的产品：用于客机和货机，安全，高效和环保;用于军用飞机 —— 用于战斗质量。对于现代航空科学的研究，通常使用适当的数学模型，其基础是对所研究现象的物理学的清楚理解。没有使用“高度数学化”的科学，如空气动力学，控制理论和强度，新飞机的开发和设计是不可能的。

空气动力学

研究气流与机体相互作用的科学。飞机的速度很高，以至于它周围的气流变得紊乱形成湍流。湍流不同于“安静”层流，其特征随时间的混乱变化（速度，压力等）导致强烈的气体混合，导致涡流的出现。湍流的主要数学问题 —— 可以描述任意湍流并且可以在现代计算机上求解的偏微分方程系统的创建 —— 尚未得到解决。因此，目前，湍流的半经验模型是在数学物理方程的基础上创建的，适用于仅描述一小类气流。

飞机的空气动力学特性如何？基本上有两种方法：实验和计算。为了在风洞中进行实验研究，他们创建了飞机模型 —— 原件的复制品比真实的飞机缩小了好几倍。这是因为空气动力管道的尺寸不允许使用真实尺寸的飞机进行测试。但是，在风洞中测试模型时获得的数据，不能通过简单的缩放转换成飞机的特性，同时考虑到模型和真实飞机的相似系数。

事实上，控制流动特性的方程非常复杂。如果你把它们带到一个无量纲的形式，即表示给定流的特征参数中的所有维数值，那么带有优秀科学家名字的无量纲值将包含在方程式中：马赫（Mach）数，雷诺(Reynolds)数，斯特鲁尔(Struhal)数等。为了严格相似，所有这些值都与飞机的实际飞行以及模型在管中的测试一致。但是，管道中使用的气流的特定属性不允许满足所有相似性标准。另外，在封闭管的情况下，和在开放管的情况下，流动不是无限制的事实会影响空气动力学特性。

出现的问题是将积分特征（总力和力矩）和分布特征（压力，温度等特定点的值）从模型转换为全尺寸飞机。通过对两个半经验模型进行数学物理方程的数值计算来解决该问题：无限流中的飞机和风洞中的飞机模型。通过在风洞中增加从飞机缩小版模型的测试获得的数据，来获得飞机的空气动力学特性，和针对两个所述半经验模型的相同类型数据的差异。

   为什么不借助实验立即计算呢？这里的要点是精度。在良好的风洞中获得的实验数据的精度是计算精度的几倍。

   空气动力学的基本公式是作用在机翼上的升力与运动速度和飞机产生的涡流系统的循环（强度）的关系。这个公式是由“俄罗斯航空之父”，N. Ye. Zhukovsky（Н. Е. Жуковским）教授获得，并于1905年在莫斯科数学会会议上向公众报告。

   飞机的机翼必须是最优的。机翼最重要的参数之一是其质量：这就是如何调用升力与阻力之比。为了创建最优（“质量”）机翼，需要用到多元微积分。

管理理论

飞机的飞行包括几个阶段：起飞，爬升，巡航，转弯，下降，着陆。在每个阶段，飞机必须能被控制住。机翼上的襟翼或尾翼上的升降机梯都是控制的例子。控制系统的设计必须使驾驶舱中飞行员的简单运动传递到控制器，引起适当的反应。另一方面，系统应该足够智能，其设计元素不应超出安全模式。

  另一个任务是创建一个能够在没有飞行员干预的情况下控制飞机运动的自动驾驶仪。

主要基于微分方程理论的飞机自动控制的数学理论能够解决所有这些问题。在相同理论的帮助下，建立了飞机空间运动的数学模型，研究了飞行稳定性问题。

强度

创建一个具有良好空气动力学数据的飞机是不够的，它必须不会在飞行中坍塌，因此其资源（寿命）必须足够高。这个问题的解决方案是一门科学，这被称为强度。

强度方法用于研究飞机结构元件的弹性和塑性变形，飞机外壳中裂缝的增长（外壳材料中的微裂纹，随着时间的推移可能会增长），导致结构性失效。

用于求解强度问题的数学工具包括经典和现代的数学物理方程方法，微分方程，多元微积分，复分析，线性代数的计算部分。

每个在舷窗中看到飞机机翼在飞行中如何表现的人都注意到它的振荡幅度相当大。事实上，为了减小机翼振动的幅度，必须增加其重量，同时尽量减小飞机上结构的重量。这样才可以摆脱机翼振荡。研究振荡和共振数学理论问题的力学部分是气动弹性力学。

解决方法

让我们来讨论解决上述数学问题的方法。

 实际问题的定义方程是非常复杂的，而且通常不可能理解它们的解长什么样？

如果从实际中做大量简化，有时可以得到精确的解。大多数这些问题已经得到解决，尽管Navier - Stokes或Euler方程的精确解仍然未知。但是这些能解决的任务是有限的，而且它们也不是重要的情形。

同时，对这些问题的研究非常重要，因为精确的解提供了物理图像 —— 涡旋，边界层等 —— 从中构建了所研究过程的物理图像，就像房子是用基本砖建造的一样。在物理过程中获得的想法使得在众多数学模型中选择足以反映被建模过程的属性，并允许技术搜索解决方案的模型成为可能。

其中一个解决方案是数值化。通常，问题的数值解被简化为线性代数方程组。

如果问题中存在小参数，则可以采用另一种方法。这样的参数可以是机翼的弦（宽度）与其跨度的比率，粘性力与惯性力的比率（气体层之间的摩擦力与这些层的惯性的比率），裂缝宽度与其长度的比率。迄今为止，数学扰动理论中被研究已经发展出一些方法用于解决小参数问题。

让我们举例说明大伸展（跨度的平方与机翼面积之比）机翼的提升力问题的解决方案。这里，两个小参数是粘性力与惯性力的比率以及翼弦与其跨度的比率。

由于第一个参数，问题的解决方案不是Navier - Stokes方程（模拟空气层之间气体的摩擦），而是从欧拉方程（气层之间没有摩擦）确定的。由于第二参数，每个机翼部分以与无限伸长机翼相同的方式流动。因此，包裹三维机翼的问题转变为一系列更简单的机翼轮廓附近的二维（平坦）流动问题。

因此，由于这两个参数，问题变得比原始问题简单得多。

在飞行安全和乘客舒适度方面，飞机的要求不断得到加强 —— 环境和经济。飞机在许多方面正在得到改进 —— 得益于技术解决方案中的数学。

摘选自俄文书《Математическая составляющая》

作者：N. N. Andreev，S. P. Konovalov，N. M. Panyunin