什么是“教育数学”
——摘自高等数学研究(2004年第7卷第6期)
教育数学与数学教育不同,但两者有密切的关系。数学教育是教育学的一支, 而教育数学是数学的一支。要讲什么是教育数学,得从数学教育谈起。
数学教育要研究的主要有两点:
其一是“教什么”?即教材问题。
其二是“怎样教”?即教法问题。
两者之中,更重要的当然是教材问题。因为如果不知道教什么,怎样教就无从谈起。
那么,数学教材从何而来呢?
数学教育通常认为:把数学家的研究成果作为基本素材——数学材料,经过教学法的加工,便可以形成教材:
所谓教学法加工,只是剪裁、整理,不包括数学上的创造。
但是,笔者认为,从数学家的研究成果出发,仅仅进行不包含数学上的创造的“教学法加工”,是难以形成好教材的。
事实上,从数学家的研究成果到课堂上使用的教材,常要经过两种性质不同的加工。
首先要进行数学上的再创造,使琳琅满目但却杂乱无章的材料蔚然成序,成为符合教育基本规律的“经典教程”。这部分工作是数学的任务。承担这一任务的数学家也就是教育数学家。
在经典教程的基础上进行一次或多次的教学法加工, 使之适合当地的学生、教师及社会的条件,成为实际应用的教材,这部分工作是教育学的任务。具体地, 是数学教育的任务。承担这一任务的是数学教育家。
也就是说,应当是这样的过程:
让我们看看历史事实。
欧几里得《几何原本》的出现,是对古希腊几何研究成果进行数学上的再创造的结晶。
经过两千多年的探讨,对几何学的见解已远比欧几里得时代深刻了。希尔伯特在一系列成果基础上,进行数学上的再创造,写出了著名的《几何基础》。
柯西总结了牛顿、莱布尼兹以来丰富的微积分研究成果,进行了数学上的再创造,其结果是《分析教程》,成为后人微积分教材的蓝本。
如果只有“教学法加工”,那就不可能有《几何原本》、《几何基础》、《分析教程》。这些足以在相当长期间影响课堂的经典教程的出现,要靠教育数学家的辛勤劳动。
欧几里得、柯西、希尔伯特,他们不但是数学大师,同时也是卓越的教育数学家。
现代数学教育学里忘记了教育数学,以为只靠教学法加工就可产生好的教材,这是因为古人已为我们准备了出色的经典教程。教学法加工是从经典教程出发,或是从加工过几次、十几次、几十次的加工品出发。既然都不进行数学上的创造,所以也就想不到应当有教育数学。
但是,世界在前进,科技在迅猛发展。社会对数学教育提出了更高的要求。人们希望孩子们在更少的时间内学得更多更好,更现代化更津津有味。于是要改革。从60 年代开始, 改革数学教材之风几乎刮遍世界。数学家们、数学教育家们热心地面对数学成果, 剪裁整理进行教学法加工编出新的教材,然而收效甚微。原因是多方面的。但其中重要的一条是缺少数学上的再创造,没有针对古人留给我们的遗产已暴露出的缺点进行再创造,没有创造出符合教育学基本规律的新的经典教程。
说古人留下的东西不好,说欧几里得留下的几何不好, 柯西留下的极限概念不好吗?总要有真凭实据。要说出道理来。所谓道理,首先应当有判断优劣的原则。
也许,下面的三条值得参考。不妨先来个正名,称这为“教育数学三原理”吧!
第一条原理: 在学生头脑里找概念
第二条原理: 从概念里产生方法
第三条原理: 方法要形成模式
这三条需要说明。
讲数学,基本概念当然必不可少,十分重要。人人皆知,把概念教给学生,与磁带、录音、录像、胶卷感光完全不是一回事。学生头脑里已有很多知识印象,它们要和新来的概念起反应发生变化, 使新概念格格不入甚至被歪曲。把学生头脑里的东西研究一番,利用其中已有的东西加以改造形成有用的概念,是个重要手段。这样,学生学起来亲切容易。
光有概念不够,还必须有方法。数学的中心是解题, 没有方法怎么解题?从概念里产生方法, 就是说有了概念之后,概念要能迅速转化为方法。不能推来推去走过长长的逻辑道路学生还看不见有趣的题目,摸不到犀利的方法。
方法不能过多,不能零乱。要形成统一的模式。像吃饭一样, 光吃零食不利于肠胃吸收, 不利于健康。形成模式,即形成较一般的方法,学生才会心里踏实信心倍增。
总之,教育数学三原理很简单,无非是说概念要平易、直观、亲切,逻辑推理展开要迅速简明,方法要通用有力。
说起来简单的事做起来却不容易。用这三条对照欧几里得的几何推理体系,老先生明显地没有做好。
初中学生要学平面几何。他们头脑里已有的小学课本上的几何知识与马上要学的概念相距甚远。学了基本概念公理要推来推去几个星期才触及有趣的习题与巧妙的方法。而方法又是东一下西一下,见到题目挖空心思作辅助线无一定章法可循。
以方法而论,欧几里得的基本证题工具是全等三角形。在随便给出的圆形里通常难以找出这样的一对一对的三角形。全等三角形与相似三角形不是一般图形的基本细胞。这决定了欧几里得提供的方法不是一般的通用方法。两个三角形全等有三个条件。用全等三角形性质证两条线段相等或两角相等时要凑够三个等式才得到一个等式。这决定了欧几里得的方法通常不是简捷有力的工具。
但不能怪欧老先生。他代表了两千多年前人类当时最高的科学水平与认识水平。
循着教育数学三原理进行数学上的再创造,我们找到了更为符合教育规律的新路。
把什么作为平面几何的主导概念?我们从学生头脑中寻找。小学里多少学些几何知识。小学生头脑里印象最深的是面积。抓住面积,抓住三角形面积公式的一个简单推论(若△ABC的BC边上有一点P,则△ABC与△ABP面积之比等于BC∶BP) ,可以成功地展开全部平面几何。
在这个新的几何体系中,一开始就提供两个易于掌握的工具——关于共边三角形的共边比例定理和关于共角三角形的共角比例定理。
共边比例定理 若直线AB与PQ相交于M,则
这里我们用△ABC 同时表示三角形ABC 的面积。这通常不至于混淆。
一对共边三角形,就是有一条公共边的两个三角形。一对共角三角形, 就是有一个角相等或互补的三角形。这两个概念简易直观。这两种三角形处处出现。上述两条定理作为解题工具十分灵活有力。“高等数学研究”的长文《平面几何新路》中对这两条定理的多种应用有详细的介绍。(参看《数学教师》1985 年第二期至1986 年第六期。) 这里仅举几个典型例子
不仅如此。以面积为基础,可以形成解题模式,可以导出全部初等几何,可以通向更高深的数学教程。这表明,教育数学三原理的应用,不是空谈。它能引导我们走向数学教材改革的新天地。但它的应用必须伴随着数学上的创造,要付出实实在在的劳动。
目前,数学教育中存在两个大难点,也就是学生成绩分化点。一个分化点是平面几何。这一个分化点使一部分同学的数学成绩一蹶不振。另一个分化点是极限概念与实数理论。它使一部分同学几乎终生不能真正理解微积分的推理过程而只能形式的运用几条公式。
运用教育数学三原理,我们在前一个难点的处理问题上提出了新的办法———抓住面积建立新的体系。对后一个难点,有没有什么突破性的建议呢?
目前,讲极限概念用的是柯西的ε- 语言。一般认为,离开ε- 语言,无法严格地引入极限概念。
其实这是误解。柯西的ε- 语言,并不是极限概念的最好表述方式。它没有从学生头脑里已有的东西出发,也没有提供有力而带一般性的方法。
让我们循着“三原则”,寻求新路。
极限概念与无穷紧密相关。学生头脑里,与无穷有关的东西是什么呢?
自然数。学生对自然数已十分熟悉。自然数有两条明显而易与理解的性质:第一,它是一个比一个大,不减少的数列。第二,它是无界的。
抓住这两条性质,引入“无界不减数列”,是毫无困难的:
就这样,借助于学生头脑中已有的自然数概念,不花大力气地引入了极限定义。至于函数的极限,也可照此办理。
这样引入的概念本身提供了证明极限存在或计算极限的方法。(可参看九章出版社《从根号2谈起》一书,张景中著)
继续抓住“从学生头脑中找寻概念”这一条,让我们看看有没有更好的办法来讲实数理论。
传统的实数理论包含一系列基本定理,这些定理是研究连续性的基本工具。但是, 我们从学生头脑里却能发掘出更有力的工具。
学生对数学归纳法是熟悉的。数学归纳法是关于自然数的。把自然数改一下, 变成可以连续变化的实数,行不行呢?
可以,这就是“连续归纳法”。
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让我们把两种归纳法从形式上作一比较:
两种归纳法如此相似,学生很容易从他们熟悉的数学归纳法进一步掌握连续归纳法。
人们会问:连续归纳法对不对?它有什么用?它与实数理论有什么关系?
可以证明,连续归纳法与实数的戴德金公理等价,从它可以用一个模式推出区间套定理、有限覆盖定理、确界定理、波尔查诺- 维尔斯特拉斯定理等一切关于实数以及连续函数的定理。(可参看辽宁教育出版社的《数理化信息》, (2) 1986 ,136 —148 页; 或《四川教育学院》学报1986 年1 期,74 —82 页,1986 年2 期,74 —82 页。)
上述三个例子——以面积为基础的几何体系、不用ε- 语言的极限概念表述、连续归纳法——表明,教育数学是有切实内容的一个研究领域。关心教育的数学工作者可以在这一领域一试身手。
教育数学的研究,当然不限于中学至大学初年级的数学课程。当代著名的法国布尔巴基学派,提出结构思想,整理现代数学的成果,写出百科全书式的《数学原理》四十多卷,这也是教育数学的工作。他们干的是高层次的数学教育,为当代和下一代的数学家准备经典教程。此外,把复杂的数学论文理出头绪写成专著,把深奥的数学定理证明初等化使更多的人理解,也属于教育数学的内容。
教育数学的成果如何为数学教育服务?这个问题更具有迫切性、实践性,也更为困难。它期待着关心数学教育的志士仁人的指点、批评及切实地工作。