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CICC科普栏目|相对论浅谈

科界 2019-06-23

来源:中国指挥与控制学会

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作为浅谈,这里不提及各种繁杂的数学公式和理论推导如Riemann几何和张量分析,仅对整个相对论的发展脉络予以宏观的看法。

数学的公理化发展及对物理学的影响

19世纪初叶及以前,任何一个数学家都是物理学家,任何一个物理学家都是数学家。但到19世纪中叶及以后,数学家发觉由于缺乏严格的逻辑证明,他们从物理的洞察力得出的结论有错,而且越错越离谱。于是就有数学家提出要重整整个数学理论的基础,即寄期望由几个简单的公理出发推导所有一切,就像Euclid几何的公理化系统一样。其中对这一观点最为推崇的就有当时享誉世界的数学大师David Hilbert。由于受到公理化思想的影响,Hilbert甚至提出要将整个物理学公理化(Hilbert第六问题)。尽管Hilbert的设想最终并未获得成功,但却间接促成了很多新思想的形成,引领了那个时代主流数学物理的发展。数学这方面例子很多如Weierstrass严格分析的建立,Lebesgue积分理论的建立,ZFC公理系统的建立。物理学方面最出名的要算是相对论理论架构的建立了(另一个出名的是量子力学,里头的数学结构是Hilbert空间)。

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David Hilbert


融合Maxwell电磁理论和Newton力学

经典宏观物体的动力学满足Newton方程,Newton方程在Galilean group作用下协变;经典电动力学满足Maxwell方程,而Maxwell方程并不是Galilean group下的协变式。这揭示出经典力学定律和经典电磁学定律在本质上具有不同的对称性(symmetry)。除此之外,通过求解真空Maxwell方程得到关于电磁场的波动方程,发现电磁场在真空中的传播速度仅与真空磁导率和电容率有关,并没指明这个速度是在哪个参考系下测量的,这有悖于Galileo相对性原理。当时普遍的看法是电磁场传播速度是相对于ether这个假想绝对静止的参考系来说的。直到1887年,美国物理学家Michelson跟Morley做了著名的测量地球和ether之间相对速度的实验发现光在不同方向的速度是相同的从而否定了ether的存在。以上种种奇怪的现象都暗示了Newton经典力学和Maxwell经典电动力学间有着根本的矛盾。为了调和这对矛盾,摆在面前的有两种做法。(一). 保留Newton力学而对Maxwell方程做修正;(二). 保留Maxwell电磁理论而对Newton方程做修正。历史上,出于对Maxwell方程对称性结构的考量和光速不变的事实,A.Einstein则大胆选择了第二种做法,并选择以光速不变原理和(狭义)协变原理作为基本假设(hypothesis)来构建他整个理论。关于协变原理中的协变,指的是四维时空的Lorentz协变而非三维空间的Galileo协变。

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James Clerk Maxwell


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Maxwell 方程


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Newton 运动方程

基于两个基本假设的理论架构

整个相对论就是基于光速不变原理和协变原理(对称群)两个基本假设建立的理论架构。不同的是,狭义相对论中使用的对称是大范围的对称(Lorentz group),而广义相对论使用的是小范围的对称(坐标变换群)。狭义相对论中的时空是所谓的平坦四维Minkowski空间(一种pseudo-Euclidean空间,更确切地说是Lorentz流形),其上每点定义有(3,1)型非退化Lorentz metric,是个二阶张量场(tensor field),在pseudo-Cartesian坐标系下形式为η_μυ:=(±1)diag(-1,+1,+1,+1)。其中±1的选取和signature有关。都晓得三维Euclidean空间(定义有标准Euclidean metric)中保持三维矢量内积的齐次等距变换是正交变换,这种(旋转)坐标变换能保证变换前后两点间距离不变。同理,在四维Minkowski空间(定义有Lorentz metric)中,保持四矢量(four-vector)内积的齐次等距变换是Lorentz变换,这种四维坐标系的‘’旋转‘’变换同样能保证变换前后两个时空点“距离”是守恒的。但由于Lorentz metric的非正定性,这里的“距离”不是一般意义上的Euclidean距离,而是所谓的“四维时空间隔”。这样,一整套狭义相对论的四维时空几何结构就建立起来了。随之而来的相对论动力学结论如 尺缩效应,时间膨胀,质速关系,双生子佯谬,时空图,光锥,因果关系,速度变换式,质能等价关系等都是这个全新的四维Minkowski几何的自然推论。



推广(狭义)协变原理,引力几何化

A.Einstein曾试图把引力也囊括到狭义相对论中去。但废了一翻努力发现这样是不可行的。基于Minkowski几何的狭义相对论要求所有资讯的传输都不能超过光速,而Newton的万有引力理论却允许所谓“超距作用”(action at a distance),两者是有根本矛盾的。为了解决这一矛盾,A.Einstein直接把引力与非惯性加速系划了等号并提出所谓等效原理。其次,狭义相对论中对于惯性系的定义问题并没有令人满意的结果。原因是其中存在逻辑上的死循环。狭义相对论只适用于惯性系。那么惯性系如何定义?惯性系是一切不受外力的物体,在其内维持静止或匀速直线运动状态不变的坐标系。但不受外力又如何定义?答案只能是 当物体保持静止或匀速直线运动状态不变时,物体不受外力。很明显可以看出,逻辑上陷入了无法避免的死循环。而这一切的根源来自于惯性系在狭义相对论中的特殊地位。所以为了避免逻辑死循环,必须取消惯性系对于描述一般物理学定律的特殊地位,于是A.Einstein推广了(狭义)协变原理,引入了所谓(广义)协变原理,认为所有参考系平权,且物理学定律(包括引力定律)在所有参考系下保持数学形式不变。有了等效原理和广义协变原理两大基本原理,又有要推广狭义相对论的目标,就可以研究引力场方程(后称作Einstein方程)。在Newton引力理论中,引力由引力势(gravitational potential)来描述。引力势满足三维空间Poisson方程。该方程左边是Laplace二次微分算子作用于引力势,右边是物质密度分布的函数。但是,Newton的引力势是个标量函数(scalar function),A.Einstein通过思想实验意识到广义相对论里描述重力的位势依赖于方向。于是A.Einstein让他的数学家朋友M.Grossmann帮他找这样一个特殊的量。M.Grossmann告诉他,不同于三维Poisson方程中的标量函数会随着坐标系的选取而发生改变,他所需要的量应当是与坐标系统无关的量,即Riemann几何中的某种张量(tensor)——Ricci张量,即Riemann曲率张量的二次缩并(曲率张量的迹),是曲率的某种平均值,满足Bianchi恒等式,可视为守恒律。A.Einstein利用这条守恒律把引力几何化。在1912和1913年A.Einstein与M.Grossmann合作的两篇论文中,他们用Ricci张量去定义空间中的物质分布张量。不过,由于物质张量满足守恒律,而Ricci张量本身不满足守恒律,两者并不相容,A.Einstein意识到自己的方程并未成功。在这之后,A.Einstein甚至考虑过放弃广义协变原理这样基本的看法,企图采取特殊的坐标系统来调和与实验观测间的矛盾。但在数学大师Hilbert眼里,这种做法显然不会有任何结果,因为从数学的观点讲,任何描述时空几何的量和物理定律都应当是内蕴(intrinsic)的,绝不应依赖坐标系的选取。Hilbert答应A.Einstein用数学的美(对称群+作用量)来解决这一问题。最终Hilbert采用Lagrangian最小作用量原理的方法(现称作Hilbert-Einstein Lagrangian)甚至比A.Einstein早一个星期发现了正确的引力场方程。Einstein方程阐释了物质分布和弯曲时空几何的相互关系,且自由动体走四维时空中的测地线(geodesics)。该方程可用来解释光线偏折,黑洞,引力波等一系列重要的天体物理现象,且它的一组静态球对称解(Schwarzschild solution)在当今GPS全球定位系统中作为对Newton经典引力理论的修正发挥了重要作用。

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Poisson 方程


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Einstein 方程


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Schwarzschild metric


对现代物理学的影响

相对论理论的成功源于不同范围尺度(scale)的对称群在寻找物理学方程上发挥的巨大威力(其实这一思想最早可追溯到Emmy Noether提出的Noether定理)。广义相对论中引力几何化的思想也奠定了几何学在物理学基本理论中的根本地位,即所谓物理学的几何纲领。在这之后,德国数学家Hermann Weyl通过平行移动(parallel
transport)引入了所谓规范对称(Abel规范群U(1))的观念成功地将Maxwell电磁理论几何化。之后随着杨振宁(C.N. Yang)和R.Mills于1954年推广Weyl工作的发表(可交换规范群U(1)推广到非交换规范群SU(2)),以及量子场论QFT包括量子电动力学QED,弱电统一理论和量子色动力学QCD的发展,这个规范群从Abel规范群U(1)逐步发展为Non-Abelian规范群U(1)×SU(2),SU(3),最终到一个规范群是直积群U(1)×SU(2)×SU(3)的Yang-Mills理论得以建立。

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Hermann Weyl


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杨振宁 (C.N. Yang)

至此,自然界中的三个基本相互作用 电磁作用,强相互作用,弱相互作用 得以统一,粒子物理学的标准模型(standard model)正式建立【注:严格讲,除了Yang-Mills理论,标准模型的真正建立还依赖别的机制,如Higgs机制,渐进自由,重整化等技术】。在这之后,标准模型所预言的各种基本粒子都成功在实验室被找到(例如,1974年丁肇中和里奇特小组分别独立发现J/ψ粒子)。随着最后一个基本粒子——Higgs粒子于2012年被实验找到,标准模型被普遍认为是迄今为止最成功,最精确的物理理论模型。

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标准模型基本粒子 (standard model elementary particles)


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Standard Model Lagrangian

21世纪理论物理学的基本问题将是如何统一引力和之前所说的三种相互作用,建立最终的统一理论(unified theory)。弦理论(string theory)是个相当不错的出发点。该理论认为,宇宙维数是10,即4维时空每点赋予一个6维空间,而这个6维空间一个重要的数学模型就是由意大利几何学家Calabi提出并被华裔数学家丘成桐证明的Calabi-Yau空间(蜷缩在Planck长度的空间上)。

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Calabi-Yau manifold


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Calabi-Yau manifolds in spacetime


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丘成桐 (S.T. Yau)

在这里,宇宙基本单元不是电子,光子之类在量子场论里合法的点状粒子模型(可能导致奇点发散),而是尺度极其微小的线状的所谓‘’弦‘’,包括开弦和闭弦。弦线的不同振动模式给出不同的基本粒子。弦理论自提出以来,最为瞩目的工作之一还要追溯到1998年由Maldacena在超弦研究中发现的AdS/CFT对偶关系(目前还是猜想)。它作为全息原理(holographic principle)的一种实现方式连结了n+1维反德西特空间(AdS space)上的量子引力理论和一个定义在AdS空间边界上的共形场论使得强/弱对偶能够派上用场。但弦论基于所谓超对称(supersymmetry)假设所预言的超对称粒子目前还没能在实验室找到。期望21世纪数学家和物理学家能携手补上物理学最后一块拼图。

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编辑 ∑Gemini

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