CICC科普栏目｜最美数学公式的150年：麦克斯韦方程组与“无用”的科学

詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（1831-1879）

刚过去的2015年颇有纪念意义：我们庆祝了爱因斯坦的广义相对论的百周年，然后是乔治∙布尔（George Boole）的诞辰200周年生日，他发明的布尔代数推动了现代计算机的发展。然而，不要忘了还有第三件值得纪念缅怀的事：2015年也是麦克斯韦方程组确立150周年，不管是对于我们对宇宙的理解，还是对于现代科技的发展，这一方程组都意义重大。

约150年前，苏格兰物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell）找到了联系电与磁的方法，而此前这两者似乎毫无干系。1865年，麦克斯韦发表了一组方程来描述所有的电磁现象，方程组亦被命名为电磁方程组。名字听起来有些奇幻，但电磁现象确与我们的日常生活息息相关：光使我们看见了周边世界，电视与收音机娱乐了我们的生活，wifi与移动电话信号让我们彼此相连，而它们都是电磁波。应用电磁方程组的物理技术领域实在太多，我们无法一一列举。

追逐电磁波

单就电或磁本身而言，科学家们对它们的认识已经有很长一段时间了。“‘电’（electricity）与‘磁’（magnetism）的英文单词源于古希腊语，”伦敦国王学院克拉克·麦克斯韦理论物理学教授约翰·埃利斯（John Ellis）解释道（麦克斯韦此前也是这里的一名教授），“直到18世纪，人们才真正开始逐步去了解电磁现象。而在19世纪早期时，科学家们才意识到，电与磁之间必然存在某种关联。”到19世纪中叶，包括迈克尔·法拉第（Michael Faraday）在内的实验物理学家们找到了这二者间存在联系的确切证据。他们证明，电流能产生磁场，移动的磁体也会产生电流。

“诸多理论各执一词，而麦克斯韦的出现才使这一切现象得到了解释，”埃利斯说，“他向人们展示了如何用联系的方法去描述电与磁。”

麦克斯韦方程组

麦克斯韦的一个重大预测就与上文提到的电磁场有关。电磁场并非静态不变的，而是像波一样出现周期性的振荡变化，并在空间中传播。麦克斯韦方程组预测，电磁场中的振荡是互相制约的，进而得出电磁波会在空间中高速传播的结论。

“人们在听到‘波’这个词时，往往会想到水波或声波，”埃利斯说道，“电磁波听起来有些抽象，但它们的表现形式非常具体。比如，灯管发出的光波或收音机传导的无线电波等，这些都是电磁波，它们都是以麦克斯韦方程组为基础预测出来的产物。”

根据这些方程，麦克斯韦就能够计算出电磁波在真空中的传播速度到底有多快，以回答困扰人们许久的问题。“此前，科学家就知道光的传播速度特别特别快，但也应该有一个上限，”埃利斯解释道，“光从A传播到B肯定需要一定时间，诸多实验已经证明这一点。麦克斯韦解出麦克斯韦方程组，计算出光速正确数值约为3×10^8米每秒的那一刻，一定科学史上最激动人心的瞬间之一（这种灵光乍现的瞬间在英语里被称为the Eureka moment，缘起于阿基米德发现浮力定律时所说之话“Eureka!/我明白了！” 

虽然结果鼓舞人心，但直到25年后才有人通过实验证明电磁波在物理上确实存在。“海因里希·赫兹（Heinrich Hertz）证明了电磁波的物理实在性：他在实验室里产生了周期性振荡的电流，然后隔空在接收器中检测到了相应的无线电波信号，”埃利斯解释道，“你也许会认为这只是在实验室里的好奇尝试，但是没过多久，古列尔莫·马可尼（Guglielmo Marconi）就成功让无线电波穿越了大西洋，彻底变革了人类沟通的方式——而所有这些都可以溯源至麦克斯韦方程组。”

追求统一

尽管麦克斯韦方程组的实际应用非常广泛，但很多物理学家庆祝其周年纪念还有更为重要的原因：它引导着我们更加深刻地理解我们所生活世界的本质。“宇宙确实错综复杂，”埃利斯说道，“但我们物理学家的工作就是搞清楚它是如何运转，又是如何演变成现在的样子的。所以我们试图寻找不同现象之间的联系，或者它们背后隐藏的原因——这就是所谓的‘统一’（unification）。用统一化的方法去描述自然的各个层面，是物理学家的永恒追求。理解宇宙中发生的各个事件之间有着隐藏的联系给我们带来了智力满足感，同时电磁波的出现也给整个社会带来了难以想象的巨大变化。”

约翰·埃利斯（John Ellis）

麦克斯韦时代之后，基础物理学又走过了长长的道路。20世纪30年代末期，科学家们意识到，除了电磁力与引力（17世纪牛顿发现了万有引力，1915年爱因斯坦完成广义相对论，指出引力是空间与时间弯曲产生的一种影响）之外，宇宙中还存在其他的基本作用力。他们先后发现了使原子核中的质子和中子聚合在一起的强相互作用（strong nuclear force），以及解释某种放射性衰变的弱相互作用（weak force）。对20世纪物理学家而言，下一步的重任则是他们能否更深刻地将这两种新的基本作用力。”埃利斯说道。

为描述弱相互作用，物理学家采用了与电磁理论类似的理论，最终在终极统一理论的道路上更进了一步。他们认为，弱相互作用和电磁相互作用其实犹如同一枚硬币——电弱相互作用（electroweak force）——的正反面。这个想法有些匪夷所思，因为弱相互作用的表现既不同于电又不同于磁。正如“电弱相互作用”的名字所揭示的那样，这种相互作用确实弱一些。它的作用范围仅在3 x 10^-17米以内，在原子核尺度上弱相互作用仅相当于电磁相互作用的10000分之一。“如果它不够弱，生命可能就无法存在。”埃利斯说道，“不是说没有它我们会死，而是没有它我们根本就不可能诞生。如果电弱相互作用并不弱，宇宙可能是截然不同的另一番模样。”

电弱统一的观点认为，电磁相互作用与弱相互作用在宇宙形成的最初阶段具有一定的相似性，在大爆炸之后的一段时间，随着宇宙的冷却，这两种作用才渐渐分离开来，最后变得截然不同。这种想法听起来有些奇怪，但也并非完全陌生：想想水结冰时所经历的变化，或许就能从一定程度上理解。

电弱统一理论于20世纪60年代被提出，用一个统一的数学框架描述了电磁相互作用与弱相互作用。“这些相互作用的基本描述特别类似于麦克斯韦方程，所以它是一种统一理论，”埃利斯解释道，“这组方程形式上更复杂，但是从理论上来讲，它们又非常简单，因为对称性将它们关联起来。”

之所以我们今天所看见的四种基本相互作用彼此不同，可以解释为原本存在的对称性被隐藏了。这一思想同样可以用水作为例子来说明：用于描述水自然规律在各处都一样，也并不偏向于空间上的某一特定方向，这也是为什么这片海洋里的水和那片海洋里的水看起来都一样，而且不管从哪个方向看都是如此。然而，水结冰形成冰山以后就完全不一样了，它们似乎没有了以上的对称性：没有两座冰山看起来完全一样的，旋转对称的冰山也少之又少。但水的对称性（即不随着位置或者方向而改变的特性）并非消失了，它依然存在，只是隐藏在幕后。

回到相互作用——结果表明，每种相互作用都是通过“信使”粒子——玻色子传导的。最初，所有的“信使”粒子都是完全没有质量的（实际上，宇宙中所有粒子都是如此）。但随着宇宙的冷却，物质开始凝结成各种不同的形态，弱相互作用的“信使”粒子（以及其他粒子）获得了质量，而电磁相互作用的“信使”粒子依然没有质量。弱玻色子太“重”，以至于很难产生，这也是弱相互作用之所以这么弱的原因。“如果那些粒子并不重，那么弱相互作用与电、磁一样重要，我们就都要被肢解了。”埃利斯说道。

发现新粒子

最开始，这一理论并未引起关注，但是在20世纪70年代以后，理论与实验结果都进一步支持了这一理论。“我是1975年开始涉足这方面研究的。我认为这些传递弱相互作用的重“信使”粒子肯定存在，所以总会有人发现它们。”埃利斯说道，事实证明他是对的。传递弱相互作用的重玻色子（又称为Z玻色子和W玻色子）于1983年在欧洲核子研究中心（CERN）被发现。而最重要的玻色子莫过于希格斯玻色子（Higgs boson），它在某种意义上是打破电弱统一理论对称性的媒介，因此可以被看做是粒子物理学的圣杯。我与玛丽·盖拉德（Mary Gaillard）以及Dimitri Nanopoulos也曾合作了一篇论文，讨论这种玻色子会是什么形态的。最终，在2012年，大型强子对撞机（LHC）中的实验发现了希格斯玻色子，完成了电弱统一图景，换句话说，也就是对称性及其被打破的过程。

电弱统一是理论物理的巨大胜利。谢尔登·格拉肖（Sheldon Glashow）、 阿卜杜勒·萨拉姆（Abdus Salam）和史蒂文·温伯格（Steven Weinberg）完成了电弱统一的理论架构，弗朗瓦索·恩格勒（François Englert） 和彼得·希格斯（Peter Higgs）描述了质量相关对称破缺机制，他们均因此获得了诺贝尔物理学奖。同麦克斯韦与埃利斯一样，希格斯也在伦敦国王大学度过了一段美好时光，不过是作为学生而非老师。

对统一理论的追求从麦克斯韦开始，至今仍远没有结束。物理学家们希望能证明所有的作用力（包括强相互作用与引力）都曾是同源，只是因为大爆炸后宇宙冷却才被迫分开。这个宏伟的大统一目标令人生畏——至少引力就是个大难题。

与此同时，这些理论性研究能否产生实际利益呢？“现在，政府总是倾向于以导向性的方式资助研究项目，”埃利斯说，“他们想要新产品，所以他们更愿意资助能产生新产品的科学家。但麦克斯韦方程组与电磁波理论告诉我们，最革命性的发现往往不是因为你想要它出现时才出现。通常，物理学中的基础发现，往往会在意想不到的方面催生颇具创新的科技成果，对统一理论的追寻也在其列。

“这些关于希格斯玻色子的故事表明，数学物理学有惊人的预测潜能。当你在纸上写下你的方程时，你领悟到其中的对称美，同时它们也赋予了你强大的预测能力。而我至今还没发现有哪个其他领域也有同样的能力。”

原文链接：

https://plus.maths.org/content/maxwells-equation-and-power-unification

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编辑 ∑Gemini

 来源：高数网

转自：算法与数学之美

投稿邮箱：liuyali@c2.org.cn

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