CICC科普栏目｜泰勒定理的奇闻轶事
头目问：你是做什么的？ 塔姆：我是一位数学家。
头目说：好吧，那么一个函数作泰勒展开到第 n 项之后，你就把误差项算出来。如果你算对了，就放你一条生路，否则就立刻枪毙。
(i) 若 f 为一阶连续可微分，并已知 f(c) 之值，那么由微积分根本定理的 Newton-Leibniz 公式知 亦即 f(x) 可以剖析为清楚的 f(c) 与尚未完全清楚的 两项之和。
(ii) 若 f 为二阶连续可微分，并且已知 f(c) 与 f'(c) 的值，那么由(1)式与分部积分公式得知 从而 亦即 f(x) 可以剖析为清楚的一次多项式 f(c)+f'(c)(x-c) 与尚未完全清楚的 。
(iii) 若 f 为三阶连续可微分，并且已知f(c), f'(c) 与 f''(c) 之值，那么由(2)式与分部积分公式得知 从而 亦即 f(x) 可以剖析成清楚的二次多项式 与尚未完全清楚的剩余项 利用积分的平均值定理，(5)式又可以写成 我们称 P2(x) 为二阶泰勒多项式。
泰勒展开定理（1715年）： 设函数 f 在区间 (a,b) 上具有 n+1 阶连续地可微分， ，则对任意
，f(x) 可以展开成
其中的剩余项（或误差项）Rn+1(x) 可以表成微分形式或积分形式： 其中 ξ 介于 c 与 x 之间，或
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