渴望唤起年轻人高贵的野心——曹则贤《惊艳一击》序 | 展卷

曹则贤老师是一名物理学工作者，却明显对数学特别是严格的数学证明非常敬畏......

当然，我能理解他的心情。在今天这个大科学和大数据的时代，新的重要发现似乎要么玄妙得渺不可及（比如说超弦和超对称的理论），要么是昂贵得高不可攀（比如说大型加速器的建造和引力波的探测），要么是知其然而不知其所以然（比如说“一出洞来无敌手”的阿尔法狗），很多人都会怀念科学的童年时代：那时候，遍地都是机会，只要你拥有能力——每个人都有机会发现世界的奥秘，每个人都有能力理解严格的证明。现在，这些机会和能力似乎都已经是明日黄花了。

但是，我也不太理解他的想法。现在是手机主宰一切阅读的时代，怎么还会有人读书呢？更不要说写书了。物理已经在一些地区的高考中被歧视了，物理已经在很多地方被中学生放弃了，为什么他还要写一本又一本关于物理的或者数学的科普书，居然还希望这些书能够让“中学生不畏其难，大学生、研究生谓其难，而专业研究人员或畏其难也。”

也许只是因为，他还希望有青少年、有更多的青少年能够看到什么是真正的物理，什么是真正的数学。也许他还希望有人记得这句古老的话语：

见贤思齐，见不贤则改之。

——姬扬（中科院半导体所研究员）

《返朴》的“贤说八道”专栏曾刊发中科院物理研究所曹则贤研究员所著《惊艳一击：数理史上的绝妙证明》一书中的若干文章，许多读者留言询问何时可购得全书。终于，此书姗姗上市了，目前正在预售，点击“阅读原文”可购买此书。

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对于有智之士来说，再也没有比一个真正的挑战性问题更迷人的了，这类问题的解决可以予人以名声并成为一座永恒的丰碑。

——约翰·贝努里，1696

作者序

撰文 | 曹则贤（中国科学院物理研究所研究员）

我出生的时候，我的出生地几乎处于原始农业社会。非常幸运的是，我是我们村小学的首届学生。在我上大学之前，除了课本我没读过几本别的书，自己花钱买的书只有两本小说。我是上初二的时候才见识物理这门课的，但是到了高二结束，四年所学也不过是受力分析、直流电路和几何光学的一些连皮毛都算不上的内容。在这之前我学过一点算术和数学（算术和数学似乎不该并列，估计数学是用来指代代数和三角函数以有别于被当作只有加减乘除的算术了），后来有一点平面几何和立体几何。我上大学后给中学生辅导平面几何，自信拿根粉笔能对付习题集里所有的题。直到很久以后的某一天，我看到牛顿的椭圆/抛物轨道对应平方反比律万有引力的平面几何证明（一般的物理学家也看不懂啊，所以好心的钱德拉塞卡只好为物理学家们写了个通俗版）、惠更斯关于等时线是摆轮线的平面几何证明，顿时感到灰心丧气。作为一个至今当了快20年物理研究员、教过不少名牌大学的教授，我可以非常自信地说，目前这个世界上99.99%的数学和物理知识都是我闻所未闻、见所未见的。任何一个数学和物理的概念，都有太多我不知道、知道了也可能理解不了的内容。

空气中有窃窃私语声：“人们有受教育的需求，人们更有受高品质教育的需求。”

不知从何时起，我有一股愿望，就是写一点我知道的数学和物理与人分享，早一点告诉朋友们外面真有知识的海洋。我当然只是想象却没亲身体会过那海洋的阔与深，但从水沟到海洋总要经过几条江河不是。于是，过去的几年里，我一直在撰写一些关于数学（家）和物理学（家）的小册子。其中，《量子力学-少年版》和《一念非凡》算是取得了初步的成功。当前的这本小册子，某种意义上是《一念非凡》的姐妹篇。本书共论及30个著名的证明问题，篇幅长短不一，看似独立却又不失内在的关联。大致说来，其中18个是数学的，12个是物理的。我说“大致”是因为有些问题很难说清是数学的还是物理的，毕竟数学是物理的语言、工具甚至结果，数学物理还是专门的物理分支呢。我这样选题，就是想重申数学和物理之间没有必然的界限。哦，对了，我2018年为一个系列讲座起的名字“学不分科”就反映了我一直的想法：“硬生生地把学问分成不同的学科是荒唐的，学习者不可自设藩篱！” 至于问题的选择，没有什么标准或原则，只是这些问题碰巧我知道而已。有些问题可能很大，会包含其它的著名证明，比如高斯的代数基本定理的证明就包含在五次方程没有代数解一章里。这本书里，有我自己对相关问题的思考与了悟，我保证你在其它地方是看不到的。我的朋友，请耐心分享我略有所悟时的抓耳挠腮。这些问题是真问题，来自自然的问题，构成人类知识的问题，而不是你在考卷上遇到的那类假问题。与原创的数学和物理搏斗是我写作这本书的乐趣之一。

限于作者水平，本书收录的数学证明，其水平在数学家眼里可能是不足道的。然而，证明一个数学问题，有人说是在找寻精神参照，这话我信。我们有理由在不同层面上欣赏证明带来的心灵愉悦。当我自己用高斯整数的概念证明了正方格子具有无穷多种单向缩放对称性时（见《一念非凡》第199页），真是兴奋到要尖叫，尽管那是个不值得一提的小工作。倘使你真地证明了庞加莱猜想一类的东西，你也就能理解为什么佩雷尔曼不稀罕任何他人或者机构的承认了。

本书的一个特点是强调发现者的生卒年份——因而也就确定了其所处的时代——以及作出发现（证明）的时间，这一点非常重要。知识发生时刻之间的关联，会部分反映知识的内在发展逻辑。在历史语境下理解所学到的知识，容易看到知识的自然体系，此应成为学者的习惯。我们会发现, 这些伟大的学者作出伟大发现时的年龄一般不大，这对少年朋友们来说可能是鼓舞人心的、催人奋进的，对中老年朋友们来说可能难免令人感到沮丧。不过，亡羊补牢，未为迟也。在中老年阶段的某刻知道奋进，虽不能有大成就，然获得足够的学识成为奋进少年的伴读，不亦赏心悦事乎？本书也算是一项科学（史）工作的示例，主旨是介绍一些数学和物理的重要证明，更多的着墨点却在于作出证明的人以及证明带来的启示，对每一个问题的阐述我都尽可能包括它的历史、哲学、硬核内容以及影响，影响包括已发生的和可能会有的。通过本书我还想教会我的少年朋友们严谨的学术表达方式，其中回溯原始论文是基本功之一。我也一直强调语言的重要性。阅读过本书，看看那些科学大家之成就的多语种表述和此前求学的多语种路径，你会明白多语言学习是成就他们这些文化人的保证之一。本书中，关键概念都会注明其西文写法，文后附上相关原著、名著，方便读者朋友们深入研习。

愚作书，总期望有这样的效果：“中学生不畏其难，大学生、研究生谓其难，而专业研究人员或畏其难也。” 一本书若使得中学生畏难，那是要断学术香火的节奏；若是不能做到让大学生、博士生老爷们觉得难，那是会被他们嘲笑的；尤为重要的，是要包含一些专业学者也认可其难度的内容，以为青少年朋友们今天当知道、来日可求索的目标，而这恰是学术未来的希望所在。这几点，虽然我自知做不到，但这不妨碍我把它作为对个人著述的要求。

有些人可能会觉得这本书难，会抱怨里面数学太多。其实，读数学、物理书和看小说一样，并非完全能看懂的就是好的。这本书的目的之一更在于增强见识。这里面的一些内容你不懂没关系，你听说过就很了不起了。若是那公式，让你当时感到赏心悦目，那就很好。你不需要句句都读懂，遇到看不懂的地方，直接跳过去，看过就有收获，看完则会满载而归。我的建议是，别管看懂看不懂，先看一遍再说！玩得来由浅入深才能造就一个深刻的民族！一个人若没读过动辄过千页的书，算不上学者（learning man, Lernende(r)），没有为学术同行认可的过千页的专著，那就算不上学者（learned man，Gelehrte(r)）。偷偷地告诉你，本书里的许多内容我也不懂，我也不指望读者们都懂，但是你要感兴趣，要知道这世界上有这些有趣而又深刻的学问，而且那深刻是你触手可及的。追求学问如同爬山，面前有些小山包，你努努力就登上去了，你还要看到远处有崇山峻岭，再往远处，高耸云天处是秀丽俊朗的喜马拉雅。

我无意写什么科普书，尤其不会去写某些人认为的那种科普书。那些发现这本书不好懂因此恼怒的人大可不必如此，这本书还真不是为你写的。至于说有没有这么聪明的少年，读得来我的《量子力学-少年版》和《相对论-少年版》，我只能告诉你读懂这两本书的少年恐尚不足以夸耀自己的聪明！我愿意为之付出的少年，按照开尔文爵士的标准，是那些知道  

不过就是2+2=4的少年。1918年，奥地利18岁的中学生泡利已经发表广义相对论的论文了，21岁上人家就已经写出了相对论的经典综述文章并以关于氢分子离子的量子力学研究获得了博士学位。一两百年前欧洲的少年能做到的事情，今日我中华大地上的少年岂能没人做到！咱不能因我等的不够聪明而降低文化的标准，不能因我等的不求上进而降低对少年的期望。

一个年轻人的首要义务是要有野心。最高贵的野心是留下一些有永恒价值的东西。野心是世界上所有伟大成就背后的驱动力（引自 Men of Mathematics）。一个人在学问上有所成就其实不需要多少条件。在内，不过需要你是一个极为投入的天才；在外，只不过需要有高人的耳提面命兼或前贤的浸染熏陶。也许你是个天才少年，但更重要的是你要幸运地成为一个及时被先哲教导了的少年！先哲的教导很重要，哪怕是自学，依然需要先哲的存在。前人的成就、经历与反思，未完成的思考，都是少年才俊成长不可或缺的营养。所以，我的建议是你一定要去读先哲的名著。你在年少的时候，一定要有被先哲名著震惊一次的经历。先哲名著会让你有凌绝顶一览众山的感觉。绝顶览山，山不只是小，山还会变得清晰。会当凌绝顶，一览众山清楚！当然，你还要吃得了苦，耐得住寂寞。雅可比（1804-1851）决定学数学时，写信告诉叔叔其对未来辛劳的估计。他说欧拉、拉格朗日、拉普拉斯这些人留下的巨著需要思想之巨大投入，在有能力站到这些巨人肩膀之前，是不指望有片刻宁静从容了(it demands a strain which permits neither rest nor peace)。

我写这本书，当然不只是有激励青少年朋友的目的。写这本小书是一场致敬之旅，也是一场抚慰之旅，抚慰那个顶着烈日一边割草一边想着算术题的少年——他刚刚在别人的书本里看到了一道民兵肩上架着机枪打飞机的几何题，那让他感到格外的新奇并因此而激动不已。今天回想起来，我16岁以前没念过书，26岁以前没念过象样的书，40岁以前没明白先哲的原著才是值得念的书。我希望我的努力，能让一些少年早早知道这世界存在先哲的原著，早早涌起阅读并弄懂先哲原著的冲动。科学的最终目的是向人类智慧致敬，而个人踏上科学之旅则是为了最终攀上巨人的肩膀。

本书的一些篇章后面我会说一些多余的话。或许撰写本书的主要目的就是为了说出那些多余的话。一块土地上，倘若真正热爱科学、有能力理解科学的人也有机会去循着科学发展自身的规律去做科学，那块土地上将来或许可能大概就会有科学，就能从科学的角度对人类文明作出本民族的贡献。

呃，我是一个内向、缄默的人。

是为序。

目   录

序

001  素数无穷多的证明

002  欧拉恒等式

003  费马数F5不是素数

004  关于无理数的证明

005  魏尔斯特拉斯病态函数

006  自然数平方和恒等式

007  三角形垂线交于一点的证明

008  尺规法作17边形

009  三角形面积的希罗公式

010  不着一字的证明

011  复数用于平面几何证明

012  四元数非对易性

013  五次代数方程无根式解

014  平面上圆密排定理的证明

015  等周问题

016  柏拉图多面体只有五种的证明

017  晶体空间群

018  准晶作为高维晶体的投影

019  泡泡合并构型的证明

020反射定律与折射定律

021   惯性

022  速降线问题

023 万有引力平方反比律的证明

024  电子自旋是相对论性质

025  存在反粒子的证明

026 存在电磁波的证明

027  引力弯曲光线的证明

028  未完的黎曼猜想证明

029  费马大定理的证明

030  人性的证明—波利亚教授不是变态

跋. 关于证明的思考点滴

《惊艳一击》拾珠

倘使你真的证明了庞加莱猜想一类的东西，你也就能理解为什么佩雷尔曼不稀罕任何他人或者机构的承认了。

在历史语境下理解所学到的知识，容易看到知识的自然体系，此应成为学者的习惯。
我也一直强调语言的重要性，阅读本书，看看那些科学大家之成就的多语种表述和此前求学的多语种路径，你会明白多语言学习是成就他们这些文化人的保证。
咱不能因我等的不够聪明而降低文化的标准，不能因我等的不求上进而降低对少年的期望。
能让一些少年早早知道这世界存在先哲的原著，早早涌起阅读并弄懂先哲原著的冲动。
任何知识，都是知识，是否有用，那要看有没有人会用。
一个做实验的人对实验数据信誓旦旦，这份天真估计来自从来没设计过、没拆解过甚至没了解过任何仪器的矜持。
每一滴知识的水珠可能都映照着整个知识的海洋。
因为不容易记住一些方程或者公式，许多人早在用尽自己的聪明才智之前就从学习数学的道路上退却了，殊为可惜。

若任何配偶集合非空的数学家是一个合格的数学家，则其配偶自身必然是合格的数学家。
极值发生在对称的条件下—其它物理情形涉及极值问题时也当如此理解，这是笔者最近的领悟。
哪有什么反射和折射的区别。光线走它想走的路，且光路总是取极值。大自然就是这么任性。

懒是宇宙最高法则。
很多时候，实验并不能带来决断(affirmative declaration)。对于某些 critical(难以区分的)情形，实验是无能为力的。
真正的实验，一定是理论的。
所谓专业，应该是在大背景上突出的特长。你若说空白的背景也是背景，我还真无从反驳，只恐怕空白的背景下你的那棵孤零+零的特长之树，未必能有多高大。

你不得不服气，拉格朗日太了不起了!
在二十世纪此地所受到的几何教育所远不能 达到的，甚至对着书本重复人家的欲求技术之通透，创造了技术之基的科学可能是必要的前提，否则对技术的掌握只能是肤浅的!
这些历史脉络反映的学科整体关联性在我们的教科书里是统统没有的，悟不出来就只能权当不存在了。

哪有什么惊艳一击，只是人家常试常得。
牛顿的证明，不好懂，愿意证明自己的平面几何连皮毛都没学到的读者可以挑战一下自己。
量子力学和(狭义)相对论是不分家的。它们有着千丝万缕的联系，只是在学问的深处才体现出来。

数学，物理，很难说一个不懂数学的人做的物理算是物理。
普朗克从瞎猜的熵与内能关 系得到了黑体辐射公式，又从玻尔兹曼的统计物理原理出发得到了黑体辐射公式。

若量子力学不完整，这世界也不完美。
这说明人家对科学研究是怎么档子事儿有清醒的认识，也知道那些没有成就的研究者也是这个国家之科学希尔伯特空间 的固有维度。赢者通吃的国度，恐怕还是缺了点儿科学的土壤，倒是奖掖了花样、鸡贼与掠夺。
诺奖也无力提升一个人的科学名望，历史到底还是客观的。这样想来，诺奖也不必为自己的苍白而惭愧。
quantum mechanics(量子力学)，classical mechanics(经典力学)，electrodynamics (电动力学)，thermodynamics(热力学)被当成力学好委屈哦。给你们一人一盘酱油炸米糕体会一下它们的心情。

我从来不怀疑物理学家的人品，我怀疑物理学和大自然!

黎曼是人类的智慧高峰之一，是个明显的标尺。证明了黎曼猜想，人 类的智慧就又往上推进一步。

读过，又一直读不懂，才知道什么是真正有滋味的遗憾。这遗憾，足以告慰自己匮乏的智商。

如今，费马大定理算是得到了证明，但也许我们还是可以期待费马曾以为得到过的那种简明的证明。为了那个简洁的证明，我想一定还有数学家在努力着，而我也愿意等。

看来，知道要脸，是一个学者的基本素质。

天若佑中华，当不使吾国天才失教。

END

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