托马森图

托马森图(Thomasson graph)是一个特殊的图。它是庞加莱猜想的一个反例。此猜想说：不存在亚可迹图；但托马森图为亚可迹图。

概念托马森图(Thomasson graph)是一个特殊的图。它是庞加莱猜想的一个反例。此猜想说：不存在亚可迹图；但托马森图(见图)为亚可迹图。

极图极图是一类特殊的图。指阶数一定在某种意义下最大的图。给定一个图族L，在所有n阶图中含边最多，不以L中图为其子图的图。这个给定的图族L称为禁用图类。关于L的全部n阶极图的集记为Ex(n，L)，其中每个极图边数相等，记为ex(n，L)。例如，Tm，n图，即有n个节点，各部节点数分别为[n/m](即n/m的整数部分)或[n/m]+1的完全m部图，就是一个极图。其中，L是m+1阶完全图。Tm，n常称为图兰图。事实上，有图兰定理：在所有不含完全图Kn作为子图的m阶图中，边数最多的图只有一个，就是Tm，n-1。它第一次出现在图兰(Turn，P.)1941年发表的文章中，由此而得名。

庞加莱猜想关于闭3维流形拓扑性质的一个猜测.庞加莱(Poincaré，(J.-)H.)于1900年提出这样的问题：一个同调平凡的3维流形M(即H0(M)=Z，Hi(M)=0，i>0)是单连通的，从而同胚于3维球面S3。后来他自己举了一个反例，说明存在同调平凡但非单连通的流形，这样的流形当然不能同胚于S3，但下列问题至今没能解决：一个单连通的3维闭流形同胚于Sn。这就是著名的庞加莱猜测。若3维闭流形M是2连通的，则M与S有相同的同伦型。上述庞加莱猜测中的流形正是这样的流形，因此上述问题的一般提法(广义庞加莱猜测)是：若一个n维闭流形M与S有相同的同伦型，则M同胚于Sn。

这个问题当n≥5时，由美国数学家斯梅尔(Smale，S.)于1960年利用莫尔斯理论的方法所解决，他考虑的是M为可微流形的情形。后来，史太令史(Stallings J.R.)解决了M为分片线性(简称PL)流形的情形；纽曼(Newman，M.H.A.)解决了M为拓扑流形的情形。一般地，当n≥5，M为光滑同伦n维球面(即与S有相同同伦型)时，M同胚于S.但当n≥7时，这决不意味着M微分同胚于Sn。当n≥5，M为PL同伦n维球面时，M为PL同胚于Sn。当n=4，M为拓扑同伦4维球面时，弗里德曼(Freedman，M.(H.))于1980年在更广泛的意义上，作为一个推论，解决了M同胚于Sn的问题。对于n=3的情形，即古典庞加莱猜测，至今未能解决。此外，对于n=1，2情形问题是平凡的，早为人们所熟知。1

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李宗秀 - 副教授 - 黑龙江财经学院