托姆分类定理

托姆分类定理(Thom classification theorem )是突变理论的核心定理。一个局部函数f：U→R，U⊂Rn，称为一个奇点，若f(0)=0，∂f/∂xi(0)=0 (i=1，2，…，n)。

概念托姆分类定理1(Thom classification theorem )是突变理论的核心定理。一个局部函数f：U→R，U⊂Rn，称为一个奇点，若f(0)=0，∂f/∂xi(0)=0 (i=1，2，…，n)。全体奇点集为m2(n)。设f，g∈m2(n)，若存在局部微分同胚h：U→V，使：

f(x)=g[h(x)] (x∈U)，

则称f和g是同构的(或等价的)，记为f～g，这里“局部微分同胚h”是说，h是一个局部坐标变换，使h和逆变换h都有各阶偏导数，U，V分别是f，g的定义域。托姆(Thom，R.)用奇点理论的方法证明了下面的分类定理：若f∈m(n)，1≤codf≤4，则：

f(x1，x2，…，xn)～±g(x1，x2，…，xr)+εixi (εi=1或-1， r=1或2)，

其中g为下列7种奇点之一：

突变理论突变理论(catastrophe theory)是法国数学家托姆(René Thom，1923年9月2日－2002年10月25日 ) 所创立的。它的诞生以托姆在1972年出版的 《结构稳定性与形态发生》一书为标志。这一理 论运用数学方法来分析事物突变可能有的类 型。众所周知，事物的量变会引起质变。与主要用来研究量变的通常数学有根本不同的是，突 变理论主要用来研究质变。因此，有人甚至认为这是牛顿以来最重要的科学进展。但实际上突变理论所涉及的质变，只限于动力系统结构的突变(catastrophe，其原意为“灾难”)，有很大的 局限性。

在数学上，事物状态的变化是用微分方程来刻画的；这种微分方程常被称为一个动力系统。在这个动力系统中含有某些反映内部结构 或外界条件的参数，而当这些参数处于某些“突变点”时，系统的结构就会发生突变。例如，系统在突变点上会使系统的平衡点(代表可能有的 稳定状态)个数发生变化，有时一分为二或由无变有，有时合二而一或由有变无等等。突变理论 的主要数学任务在于对各种突变进行分类。而托姆的一大贡献就是证明了只有折叠、尖点、燕 尾、椭圆形脐点、双典形脐点、蝴蝶、抛物形脐点 等7种基本突变。

托姆本人试图把他的理论用来说明胚胎发育、海浪形状、光的焦散、语言变化等有突变的 现象。许多数学家及其他科学家又把这一理论用到各种自然科学和社会科学问题，其中尤其是经济学、心理学、社会学、政治学等方面的问题。对于这些应用是否得当常常引起许多争论。其实不少“应用”也只不过是一种突变理论的比喻。然而，突变理论作为可以用来研究质变现象的数学，其重要性是无可争辩的。

在经济学中，人们曾企图用突变理论来研究经济的突变现象。例如，经济周期、股票市场的不稳定等等。尽管看来并不很成功，但它所涉及的经济模型正是被萨德(Sard)定理所排除的 临界(非正则)经济，因此具有特殊意义。

托姆法国数学家，突变论的创始人。1943年求学于巴黎高等师范学校，1946年入斯特拉斯堡大学。1951年获哲学博士学位。50年代研究高维流形的分类，指出任何两个流形属于同一类的充分必要条件。1958年，以“配边理论”的创造性工作荣获国际数学界的最高奖——菲尔兹奖。之后，致力于高维空间曲面的研究，用微分的方法分析曲面的奇点，并进行分类，开拓了一门崭新的领域——奇点理论。1966年起，他运用拓扑学、奇点理论和结构稳定性等数学工具，研究自然界各种形态、结构的不连续的突然变化。1968年在“走向理论生物学”的国际会议上阐述了他的观点。1972年出版《结构稳定性和形态发生学》一书，系统论述突变理论。认为系统所处的状态可用一组参数描述，即当系统处于稳定态时，标志该系统状态的某个函数取唯一的值(如能量取极小，熵取极大等等)。当参数在某个范围内变化，该函数值有不止一个极值时，系统就处于不稳定状态。对从一种稳定态进入不稳定态的系统的参数略作变化，会使处于不稳定态的系统进入另一稳定态，在这一刹那，状态发生了突变。指出突变理论就是运用数学工具，描述系统的跃迁，给出系统处于稳定态或不稳定态的参数区域，从而证明参数变化时，系统状态也随着变化;当参数通过某些特定位置时，系统状态就会发生突变。他考察由不超过四个自变量的函数决定的曲面，用局部微分同胚的方法考察奇点周围的性质，得出了七种基本类型：尖角型、折叠型、燕尾型、蝴蝶型、双曲型、椭圆型和抛物型，并运用这些模型对胚胎过程、语言现象、海浪形状、光的聚散加以说明。突变论把人们千百年来关于质变的经验总结成数学模型，为进一步认识质态转化的辩证过程提供了科学依据。他早年曾受布尔巴基学派的影响，后逐步摆脱布尔巴基学派的思想影响而形成自己对数学的独特见解。从60年代末起，积极参加一些社会活动，注重数学的社会作用。主要著作有《结构稳定性和形态发生学》(1972)、《形态发生的数学模型》(1974)等。2

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李宗秀 - 副教授 - 黑龙江财经学院