龟背上的学问

相传在公元前23世纪大禹治水的时候，在黄河支流洛水中，浮现出一只大乌龟, 龟背上刻有奇特的图案，人们非常惊讶，争相观看，只见龟背上清晰刻着一个数字方阵。

这个方阵，按《孙子算经》中筹算记数的纵横相间制：“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。六不积算，五不单张”。译成现代的数字，如下图所示。

方阵包括了9个数字,每一行每一列的数字和均为15，两条对角线上的数也有相同的性质。龟背上神奇的数字方阵让人们以为是天神相助,治水有望了。后来乌龟壳上的这些记号被称作“洛书”。在数学上，像这样具有奇妙性质的图案叫做“幻方”，属于组合数学范畴。

对幻方进行系统研究的第一人当数我国古代数学家——杨辉。他从三阶幻方的排列中找出了一个奇妙的规律:“九子斜排，上下对易，左右相更，思维挺出。”像这样3行3列的叫做三阶幻方，它是世界上最古老的一个幻方。使用整数1至9构成的3×3阶“幻方”唯一可能的和数是15，这一点只要把这个“幻方”中所有数加起来便可证明，1十2十3十4十5十6十7十8十9＝45，要把这几个数分配到三行(或列)使得每行(或列)有同样的和，那么，每行(或列)的和应为45／3＝15。

幻方属于组合数学的范畴，而组合数学是数学中的一个分支，在实际生活中的应用范围特别广泛。在中小学的数学游戏中，有这样一个问题，一个船夫要把一只狼，一只羊和一棵白菜运过河。问题是当人不在场时，狼要吃羊，羊要吃白菜，而他的船每趟只能运其中的一个。他怎样才能把三者都运过河呢？这也是一个很典型、很简单的组合数学问题。

本作品为“科普中国-科学原理一点通”原创，转载时务请注明出处。