霍尔多项式

霍尔多项式(Hall's polynomial)也称哈尔多项式、Hall多项式，是对循环差集的一种刻画，当G为v阶循环群时，群环ZG与多项式环Z[x]/(xv-1)同构.若D={d1，d2，…，dk}为G的一个差集，则D的群环刻画T(D)对应于Z[x]/(xv-1)中的元θ(x)=xd1+xd2+...+xdk，称θ(x)为D的霍尔多项式。D为v阶循环群中(v，k，λ)差集的充分必要条件是霍尔多项式适合θ(x)θ(x-1)≡n+λT(x) (mod xv-1)，式中T(x)=1+x+…+xv-1，n=k-λ。1

基本介绍用霍尔(Hall)多项式来刻划-循环差集和研究差集之间的同构、等价关系时是比较方便的2。

定义设

是模k剩余的任一子集，则

叫做D的霍尔多项式。

例如，由CPPD(15，7，3)的

构成的(15，7，3)一循环差集

可以在mod 15的意义下写为

然后用哈尔多项式表示为

相关定理定理 一个多项式2

是一个-循环差集

的哈尔多项式的充要条件是

此处，且

证 因

故(3)成立的充要条件是

此式成立的充要条件，就是D是一个-循环差集2。

故得所证。

利用Hall多项式，可以构造生成差集码的生成多项式。设2

是一个2s阶的循环差集

令

及h(x)是θ(x)和的最大公约式，即

则长为n的差集码定义为由下列生成多项式生成的循环码

差集的刻画差集的刻画是对差集的一种表征，按定义差集是群中的特殊子集，为讨论问题方便起见，考虑阿贝尔群G的群环ZG，其中Z为整数环，则G中的差集D可用群环中元

来刻画，若α为G的自同构，记

则G的k元子集D为差集的充分必要条件为，式中，

循环差集还可由霍尔多项式及循环序列来刻画。以记循环加群Zv中元，定义一个序列，使得i属于循环差集D时，否则，则称该序列是循环差集D的特征序列，一个长为v的(0，1)序列是一个(v，k，λ)循环差集的特征序列的充分必要条件是和式

只取两个值，当时值为k，而对别的j均取值λ，和式中下标i+j按模v简化。循环差集的特征序列刻画法便于差集在数字通信理论中的应用1。

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学