L2空间

科技工作者之家 2020-11-17

L2空间是平方可积函数类,它更接近于n维欧氏空间,具有n维欧氏空间许多类似的几何性质。

简介L2空间是平方可积函数类,它更接近于n维欧氏空间,具有n维欧氏空间许多类似的几何性质。

若E是Rn内的可测集,而f(x)在E上可测且|f(x)|2在E上勒贝格可积,则称f(x)在E上是平方可积的。所有这样的函数之集称为E上的L2空间,记为L2(E)或L2,即

性质L2空间的主要性质有:

1、L2(E)是线性空间,其中零元素是E上几乎处处为零的函数。

2、(施瓦兹不等式)若f(x),g(x)∈L2(E),则f(x)g(x)∈L(E),且有

3、(柯西不等式)若f(x),g(x)∈L2(E),则

范数性质对于f(x)∈L2(E),令,||f||2具有以下性质:

1、(非负性)||f||2≥0,且||f||2=0当且仅当f(x)=0几乎处处收敛于E。

2、(正齐性)对任意实数α,有||αf||2=|α|||f||2。

3、(三角不等式)||f+g||2≤||f||2+||g||2。

因此,||f||2是L2(E)上的一个范数。进一步,L2(E)是希尔伯特空间。1

本词条内容贡献者为:

任毅如 - 副教授 - 湖南大学

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