半正交小波

一种半正交小波包——B小波包 ,它具有广义线性相位 ,因而可以不失真地回复原始信号 ,这一点在工程应用中是非常重要的。

半正交小波包的电机故障信号处理方法B-样条小波是对称的半正交小波。基于它的小波包称为半正交小波包，它的算法简洁、准确，与Daubechies小波迭代算法不同。B-样条小波是对称的或反对称的小波，基于它的滤波器具有线性相位或广义线性相位，因而可避免信号相位失真，实验结果表明半正交小波包对故障信号的分解、压缩、重构比Daubechies小波包效果明显。另外对故障信号的小波包分解的不同频带的特征值与正常信号的特征值进行比较，可以对故障信号进行谐波检测和定位。1

半正交小波包理论与算法在选择和构造基小波时，有许多要点必须考虑，它们是:时频窗的大小、计算的复杂性和有效性、实现的简单性、基小波的光滑性与逼近阶。B-样条函数对软件和硬件实现都是最有效的具有小支撑的简单函数，而且它们还有一个很好的性质，称为"全正性"、零交叉，控制着“样条曲线”的零交叉点个数和形状。m阶B样条函数Nm(t)的二进伸缩和整数平移构成了L2(R)的多分辨分析(MRA)。选择B-样条函数作为尺度函数，其小波函数的选择仍然有相当大的自由。正像B-样条函数是多分辨分析中的最小支撑生成元一样，人们兴趣的具有最小支撑的半正交“基数样条小波”即B-小波。

与Daubechies正交小波包相比，B-小波包的优点在于重构时可以不失真地回复原始信号，这点在工程信号处理中是非常重要的。另外，Daubechies正交小波的尺度函数不具有初等解析表达式，因此将信号展开成级数表示时的系数{ck0}的计算是不方便的，事实上正交小波包变换采用的是一种替代的离散算法，这种算法绕开了尺度函数和小波函数的具体形式，不可避免地产生模型误差。1

半正交小波包的信号分解与重构电力系统各级调度中心及各发电厂、变电站相互之间需传送大量反映运行状态和进行控制调节的信息。对电机进行状态监测，需要观测、采集和传输大量数据，尤其在异常情况下，既要提高采样频率，又要较长的时间记录故障，从而增加了数据量，并且采集的信号含有大量奇异成分，需要一种有效的信号分解、压缩方法，而小波分析在奇异特征提取、消噪及压缩上的优势正好满足了这一要求。

A相电流故障信号半正交小波包和小波包分解层次是某鼠笼式异步电机的定子绕组单相接地时的含噪声的A相电流信号及其基于半正交小波包的分解(取m=4，即三次样条小波包)和基于小波包的分解的三层共八个频带信号。

为了能定性说明，采用文中的小波包的分解、阈值选取、压缩以及重构的方法，并引用数据压缩比、能量恢复系数、以及相对误差进行定量分析。很明显，相对误差越小、能量恢复系数越大，说明信号失真小，压缩比越小说明保留的数据量越小，压缩效果越好。1

一种半正交小波包包理论、算法及实现信号的正交小波包表示具有数学上的简捷性和优美性，然而已经证明，除去Haar小波包外，全体紧支撑正交小波包生成元不具有广义线性相位，因而重构的信号将不可避免地产生失真。从B—小波的基本理论入手，以工程中普遍使用的三次样条为代表，提出了基于B—样条分析的半正交小波包算法，并与Daubechies正交小波包进行了算例对比，取得了预期的效果。2

B—样条与B—小波在选择和构造基小波时，有许多要点必须考虑，它们是：时频窗的大小、计算的复杂性和有效性、实现的简单性、基小波的光滑性与逼近阶。B—样条函数或许对软件和硬件实现都是最有效的具有小支撑的简单函数，而且它们还有一个很好的性质，称为“全正性”，控制着“样条曲线”的零交叉点个数和形状。

Nm(t)的二进伸缩和整数平移构成了L2(R)的多分辨分析(MRA)。选择B样条函数作为尺度函数，其对应的小波函数的选择仍然有相当多的自由。正像B—样条函数是多分辨分析中的最小支撑生成元一样，人们感兴趣的具有最小支撑的半正交“基数样条小波”即B—小波。2

算例对比与Daubechies正交小波包相对，B—小波包的优点在于重构时可以不失真地回复原始信号，这点在工程信号处理中是非常重要的。另外，Daubechies正交小波的尺度函数不具有初等解析表达式，因此将信号展开成级数时，系数的计算是不方便的，事实上正交小波包变换采用的是一种替代的离散算法，这种算法绕开了尺度函数和小波函数的具体形式。

分别采用Daubechies正交小波包(取N=12)和B小波包进行分解至第五层32个频段，并分别对第1个窗口和第12个窗口进行重构。结果可以清楚地看到，使用Daubechies正交小波包分解时泄漏较大，重构时失真严重；B—小波包效果明显好于Daubechies小波包，两个周期信号分别集中在第1个窗口和第12个窗户，重构的信号更好地逼近原始加噪前的信号。究其原因，重构信号只不过是一个小波级数，它是线性滤波的一个结果，因此，如果滤波器具有线性相位，或者至少具有广义线性相位，失真就可以避免或抑制。2

本词条内容贡献者为:

李嘉骞 - 博士 - 同济大学