对偶小波框架

科技工作者之家 2020-11-17

在数学上,一个对偶小波(dual wavelet)为小波的对偶。一般情形下,在里斯表示定理(Riesz representation theorem)中,由平方可积函数(square integral function)产生的小波级数(wavelet series)具有对偶级数。然而, 对偶级数一般并不是由平方可积函数本身表示。1

定义给一个平方可积函数, 定义级数

给整数

这种函数称为R函数(R-function),假如的线性展延在上,且假如存在一个正的常数A,B,其中如下式

对于所有双无限平方累加(bi-infinite square summable)级数在这里,代表平方和范数:

代表在的通常范数(usual norm):

由里斯表示定理(Riesz representation theorem),存在一个独特的对偶基底(dual basis)如下式

为克罗内克函数(Kronecker delta),而为在的内积(inner produce)。确实,这里存在一个对于平方可积函数f表示基底的特殊级数表示:

假如这里存在一个函数如下式

称为对偶小波(dual wavelet)或是小波对偶至ψ(wavelet dual to ψ). 一般来说,对于一些R函数(R-function)ψ,对偶不一定存在。在特别情况中,这个小波称为正交小波(orthogonal wavelet)。2

对偶小波框架对偶小波框架(dual wavelet frame)3一类特殊的对偶框架,互为对偶的两个框架均由小波产生.假设}G(x)为可允许小波,使得{}m.n l m.nEZ是小波框架.若存在可允许小波i} ( x,使得{讥:,n 1 m,nEZ是}}m,n}m,nE1的对偶框架,则称{}m,n}m.nEZ是{}m,n 1 m.nEZ的对偶小波框架,这时二者互为对偶小波框架.

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学

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