罗巴切夫斯基平行公理

科技工作者之家 2020-11-17

罗巴切夫斯基平行公理(Lobachevskian axiom of parallels)是罗巴切夫斯基几何中最重要的公理,简称罗氏平行公理。即存在直线a及不在a上的一点A,过A点至少有两条直线与a共面且不相交,罗氏平行公理是欧氏平行公理的反面命题1。

公理介绍公理1 若已知直线L与不在L上的一点P、在L与P确定的平面内,有以P为公共端点且不共线的两射线PA与PB不与直线L相交,但在这两射线之间的每一射线都与L相交。

相关概念及结论定义1. 由公理1保证存在的两射线PA与PB的每一条叫做过已知点P、从P到A的方向与从P到B的方向平行于已知直线L,并记作PA//L和PB//L。

定义2. 如果一直线它包含过已知点P而平行于已知直线的一射线,就说这直线过P与射线同向平行于已知直线。

定义3. 有两条射线, 如果第一条射线过已知点而平行于由第二条射线所在的直线,且在由两射线端点确定的直线的同侧,就说这两条射线在同一方向平行。

定理1. 设P是不在直线L上的一点, 在P点与L确定的平面内,过P且与L相交的射线仅仅是过P平行于L的两射线之间的射线。

证明:如图1:

设射线PA与PB是过P平行于直线L的两射线, 要证明只有在PA与PB之间的射线才与L相交,过P的其他射线都与L不相交。

1) PA与PB的反向射线PA'与PB' [如图1(a)]不与L相交,否则直线PA与直线PB与L相交,这与定义2相矛盾。

2) 在射线PA'与PB'之间的射线与L不相交。 否则如图1(b),射线PC'与L交于Q'其反向射线PC与L交于Q,直线CC'与L有公共点Q'和Q,这与公理2相矛盾。

3) 在射线PB'与PA之间的射线不与L相交。否则如图1(c),射线PE'与PE都与L相交于R和S,那么射线PA必与L相交,这与假设相矛盾。同理可证在射线PA'与PB之间的射线不与L相交。

于是除PA与PB之间的射线外,过P的射线都不与L相交。

证毕。

从定理1可以看出,直线PA与直线PB把过点P的直线分为两类,在对顶角∠APB与∠A'PB'之间的直线都与L相交,在对顶角∠APB'与∠BPA'之间的直线都与L不相交,前一类直线叫做对于L的会聚直线,后一类直线叫做对于L的离散直线,加上直线PA与直线PB,过P点在平面内对于L有会聚,离散和平行三种直线存在。
若PA是过点P平行于直线L的射线,且射线PC与L相交,则射线PA与PC之间的任一射线都与L相交。
**定理2.**若P是不在直线L上的一点,F是从P到L的垂足,射线PA与PB是过点P平行于L的两射线,则∠APF=∠BPF。

证明:若∠APF不合同于∠BPF,则有一角必大于另一角,令∠APF>∠BPF (如图2)则

1) 在∠APF的内部有一射线PC, 使得∠CPF ∠BPF,因而∠BPF=∠CPF

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