《无穷算术》——微积分到来的前奏

约翰·沃利斯被认为是十七世纪仅次于牛顿的英国数学家。1616年，沃利斯在英国一户有名望的家庭中出生，并在兄长的引导下对数学产生了兴趣。当年沃利斯接受的高等教育中不包含数学，但他通过自己的努力，在这一学科逐渐积累知识，在三十多岁时，他对于数学的研究开始起步。进步飞快的沃利斯在两年后便取得了剑桥大学的教职，而此后他的著作《无穷算术》更是成为牛顿创立微积分的先行者，沃利斯也借此在学科史上赢得了一席之地。

17世纪的数学研究中，几何与代数在学界的作用和地位正处于争议之中。一方面，代数日渐兴起，而几何的地位逐渐降低；另一方面，因为代数缺乏几何那样的逻辑基础，令不少数学家对代数这门学科持怀疑态度，认为代数只是一种工具。沃利斯与这些持怀疑态度的数学家们恰恰相反，他极力支持代数的作用和价值，并持续对这一领域进行探索。

从这个角度来看，沃利斯的思想和实践中有不少继承于笛卡尔。他致力于用代数的方法探讨圆锥曲线，对解析几何的发展起到了推动作用。而他在自己的著作《无穷算术》中，将这一思路和方式发挥得更加淋漓尽致。

1656年的《无穷算术》聚焦于这样一个古老的命题：圆的面积如何计算？在这一问题上，沃利斯借助了解析几何，同时借助了与意大利数学家卡瓦列里不可分量的相似推导思路。这些先驱者们的工作都在《无穷算术》中被沃利斯提到并评价。沃利斯在自己的著作中对这些思想进行了更进一步的发展，运用“归纳法”对指数进行了扩展，将其原则推广到分数情形，使“连续性原则”得到了发展，并且使关于圆的面积的结果得到了新的理解。

在沃利斯所影响的众多数学家中，牛顿或许是最有名的一位。在牛顿学习数学的历程中，笛卡尔和沃利斯的著作和思想发挥了重要作用，它们将牛顿的注意力和方向引导到解析几何和微积分之中。而正是在沃利斯的研究基础上，牛顿进一步发展、创立了微积分这门学科。

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