克罗内克尔符号

设I为集合，I×I的对角线的特征函数称为克罗内克****尔符号（Kronecker symbol），并记为δ。习惯上将这个映射视为通过集合I×I确定下标的族；于是：δij=0如果i≠j，δij=1如果i=j1。

定义爱因斯坦(Einstein)求和符号：数学式子任意一项中如出现一对符号相同的指标，则称为爱因斯坦求和符号，它是哑指标，表示求和。例如：

任意两个正交单位向量点积用表示，称为克罗内克尔符号，即

式中：——自由指标2。

式(1)表示。

相关性质(1) 克罗内克尔符号的定义表明具有对称性，与指标排列顺序无关，即

(2) 克罗内克尔符号的分量是单位矩阵的各个元素，在三维空间中可表示为

可以通过以下例子掌握克罗内克尔符号的运算规律。例如

式(2)的一般表达式为

再如

式(3)的一般表达式为

式表明，在符号的两个指标中，如果有一个和同项中其他因子的指标相重，则可把该因子的那个重指标换成的另一个指标，而自动消失。由于是个张量，又考虑到它的置换性质和算子的作用，故也称为置换张量或置换算子。在式中，在同一项中不重复出现的指标i和j称为自由指标或指定指标3。

（3）利用的定义式可立即证明的代换性质。设有一任意阶的张量例如三阶张量，则有

例如设，则(3)中的第一式为

可以证明的值在正交笛卡尔坐标系的变换中保持不变。

克罗内克尔克罗内克尔是德国银行家，之后又是数学家(1823年生于Liegnitz，1891年卒于柏林)。他在椭圆函数方面做了不少工作，他的基本贡献在于代数数论，与维尔斯特拉斯同时，他引入了行列式现在的定义，张量乘积是由他给出的。

克罗内克尔曾任柏林大学教授(1883)。柏林科学院院士(1861)，英国皇家学会会员(1884)。对代数学及数论方面有贡献。研究了任意线性方程组的联立检验法，给出求带有理系数的已知多项式有理因子的方法。提出数论方面的克罗内克尔定理。倡导数学的算术化和证明的严密性，与魏尔斯特拉斯函数论学派及康托尔集合论学派进行了长期论战。对方程式论、椭圆函数论、交换环论亦有研究2。

本词条内容贡献者为:

尹维龙 - 副教授 - 哈尔滨工业大学