样条

样条意思是指通过一组给定点集来生成平滑曲线的柔性带。此概念源于生产实践，“样条”是绘制曲线的一种绘图工具，是富有弹性的细长条。绘图时用压铁使样条通过指定的形值点（样点），并调整样条使它具有满意的形状，然后沿样条画出曲线。

简介样条曲线是构建自由曲面的重要曲线，可以是平面样条，也可以是空间样条；可以封闭，也可以开环，可以是单段样条线，也可以是多段样条线。UG NX中创建的所有样条曲线都是“非均匀有理B样条(NURBS)”。

样条曲线中的基本概念描述如下。

曲线阶次：每个样条都有阶次，这是一个代表定义曲线的多项式阶次的数学概念。

阶次通常比样条段中的点数小1。因此，样条线的点数不得少于阶次。

单段/多段：样条线可以采用单段和多段的方式创建。对于单段样条线来说。阶次=点数-1，因此单段样条线最多只能使用25个点。单段构造方式受到一定的限制，定义点的数量越多，样条线的阶次越高，而阶次越高样条线会出现意外结果，如变形等。而且单段样条线不能封闭，因此不建议使用单段构造样条线。多段样条线的阶次由用户自己定义(≤24)，样条线定义点数量没有限制．但至少比阶次多一点。在设计中，通常采用3～5阶样条线。

定义点：定义样条线的点。根据极点方法创建的样条线没有定义点，在编辑样条线时可以添加定义点，也可以删除定义点。

节点：节点即为每段样条线的端点。单段样条线只有两个节点，既起点和终点；多段样条线的节点=段数-1。1

种类举例B－样条B-样条函数的研究最早开始于十九世纪，当时N.Lobachevsky把B-样条作为某些概率分布的卷积。在1946年，I.J.schoenberg利用B-样条进行统计数据的光滑化处理，他的论文开创了样条逼近的现代理论。随后， CdeBoor，M.Cox和LMansfiekl发现了B-样条的递推关系。B-样条曲线的最初定义是基于差商，这种定义方法包含了复杂的数学公式，而且所得结果在数值上不稳定。 DeBoor与Hollig应用B-样条的递推关系作为出发点定义B-样条，这是一种完全不同于差商方法的定义公式。B-样条根据节点的不同又分为均匀B-样条基函数，周期B-样条基函数等类型。2

三次样条通常重要的描述粒子间相互作用的函数，如分子动力学的原子嵌入势函数或者第一性原理中的电子交换关联势函数等．都是将给定网格上的数值存储在相应文件中，而非直接调用连续的解析函数。因此，利用这些数值点构建行为良好的、与原函数近似相等的插值函数对最终的结果具有重要的意义。实践表明，三次样条函数可以方便地满足上述要求，因此在实际工作中得到了广泛的应用。三次样条函数要求在各个节点(插值点)处函数值、一阶导数值、二阶导数值连续。这个要求同时具有明显的几何与力学意义。从几何角度而言，最高到二阶导数连续的函数在各节点上光滑且对称地连续，即在节点处左右微小范围内该样条函数是一段圆弧，曲率半径相等。因为细梁(样条函数)的弯矩与曲率成正比，因此在力学意义上，三次样条函数等价于将弹性杆压在各节点处自然弯曲所得到的结果。3

样条函数在数学学科数值分析中，样条是一种特殊的函数，由多项式分段定义。样条的英语单词spline来源于可变形的样条工具，那是一种在造船和工程制图时用来画出光滑形状的工具。在中国大陆，早期曾经被称做“齿函数”。后来因为工程学术语中“放样”一词而得名。

在插值问题中，样条插值通常比多项式插值好用。用低阶的样条插值能产生和高阶的多项式插值类似的效果，并且可以避免被称为龙格现象的数值不稳定的出现。并且低阶的样条插值还具有“保凸”的重要性质。

在计算机科学的计算机辅助设计和计算机图形学中，样条通常是指分段定义的多项式参数曲线。由于样条构造简单，使用方便，拟合准确，并能近似曲线拟合和交互式曲线设计中复杂的形状，样条是这些领域中曲线的常用表示方法。

本词条内容贡献者为:

尹维龙 - 副教授 - 哈尔滨工业大学