几何为万物赋能——建筑、医疗、动漫、游戏…… | 世纪大讲堂

计算机专业，几十年没有发展，核心就是基础的数学理论没有看清楚，很多事是几何理论没有看清楚。有的理论得到了飞速发展，是因为终于有一个几何理论取得了突破，将现代数学的这个思想方法引入到这个理论里面。

从小处说，计算机非常好玩、非常强有力，甚至可以说计算机能改变世界。数学非常优美、非常深刻，如果能领悟到其中一些原理，作为凡夫俗子，这是最切实可行的方法让我们可以真正体会到宇宙的真理，得到宇宙永恒的精神。哪怕我们了解一些皮毛，也能够更多地理解宇宙的真谛，这是多么深奥的一个话题。

几何是自然界的语言，最深刻的几何原理，也是人类最能审美的一个方向。所以，越深刻的几何原理，人类通过直觉越容易领会到。今天这里，我们不讲数学公式，所有东西都用艺术，或者是其他比较浅显的方式来讲解。

北京的大兴国际机场，被称为世界七大奇迹之首，耗资800亿。它的造型非常地瑰丽，气势非常宏伟，像一个凤凰一样。这个建筑是国际著名建筑师--女魔头扎哈·哈迪德设计的。哈迪德本身是学数学出身，她创立了一个新的学派。这个学派最大的特点就是，用黎曼几何，来取代欧式几何。

欧式几何，就是说地是平的，墙是直的，窗户都是正方形的，看起来非常地中规中矩。而哈迪德，把一切变成了曲面，在曲面上设计非常复杂的曲线，她由此也被称为了--曲线之王。

我们通过哈迪德的建筑设计，可以体会到很深的一些数学原理。如果我们从空中鸟瞰大兴机场的棚顶结构，有一个非常漂亮的六芒星的结构。建筑上有很多非常光滑的曲线，实际上看它内部的钢架结构，里面有两族彼此垂直的曲线结构。这个形态非常优美，而它在几何中是对应一个非常深刻的数学概念，叫做叶状结构。为什么要设计成这种结构呢？这种叶状结构，在曲面上是无处不在的。

 建築設計-曲面葉狀結構▼

这边我们画一个非常常见的一个兔子的模型，在上面有两族叶状结构，一族是蓝色的，另一族是红色的，处处彼此垂直，把这个曲面非常均匀地分成了四边形网格。在建筑设计中，每个四边形网格，可以对应一块玻璃，或者一个钢架结构。

这个结构在自然界中，是无处不在的，它也是异常优美的。扎哈，她不见得理解这套数学理论，但是通过单纯的审美，她把这个这套数学结构，用到她的建设设计之中。我们回头再来看大兴机场内部的钢架结构，从本质上讲，它得到了两族调和的叶状结构，结构中间存在一个稳定的奇异点。

所以大兴机场，其实非常完美地体现了，艺术和数学的结合。

在过去的10年里，计算机科学领域最大的一个突破点，就在三维技术上。人们可以非常容易地得到三维的数据结构。

我们用三维扫描，可以得到一个人脸的模型。这里用结构光的方法进行扫描，扫描速度非常快，解析度也非常高。我们可以看到他动态的表情变化，每一帧，有差不多50万个采样点。这样可以得到非常迅速的、大规模的三维数据的采集。

通过扫描撒贝宁先生的脸，得到了非常完美的纹理和几何 ▼

从今天来看，三维扫描的技术，已经非常成熟。我们瞬间可以得到大量的三维数据，但是现在整个瓶颈变成了软件。我们如何来处理这些非常难以处理的三维的数据，现在是非常具有挑战性的问题。

应用计算机传统的，线性代数，我们只是能处理平直空间的问题。对于曲面的话无能为力，因此我们必须要引入现代的微分几何和共形几何。

这些概念比较深刻，我们先用艺术家的观点来解释。

有一个特别知名的荷兰画家叫埃舍尔。他一辈子创作了大量的将数学和艺术结合的画作。这幅图画就是他的一个非常有名的画作，叫做《画廊》。

似幻還真，畫中的虛擬世界和現實世界融為一體▼

左侧有一个男青年，他站在画廊之中，看墙上的一幅画。这幅画画了一条河，河里有一艘船，河对岸是一个画廊。这个画廊中也有一个男青年，在看墙上的一幅画，那幅画上是什么呢？有一条河 河对岸有个画廊。所以它实际是一个无穷嵌套的结构。

左侧，这个画廊是真实世界的画廊，而图上的画廊是虚假的画廊。

在右侧，真实的世界，和虚拟的世界融为一体。从虚假世界融入到真实世界。

这幅画在历史上非常有名，激发了很多后来的艺术工作。比如说大家熟知的《盗梦空间》还有《骇客帝国》，本质思想就是把虚拟和现实融为一体。

那么这幅画作的数学原理究竟是什么？中间这个奇异点内部究竟发生了什么？

其实，变换虽然非常剧烈，但是局部的形状，没有发生变化，所以这种变换有一个特殊的名字，叫做共形变换。共形的意思就是局部保持形状。

（平面共形变换：局部保持形状，整体剧烈变化）

（曲面间的共形变换：弯曲展平直，三维变二维，降维攻击，局部保形）

右边的图由左边照片处理而得，图片整体发生扭曲，但局部物品的形状并未发生形变（局部保持形狀，整体劇烈变化）▼

共形變換與一般變換的比較▼

刘慈欣的《三体》有一个非常厉害的文明，叫歌者文明。后来歌者文明决定毁灭太阳系，毁灭的方式是发来一个二向箔。二向箔飘到太阳系之后，把整个太阳系三维的空间变成二维。整个流入到二向箔里面，这就是所谓的降维攻击。降维攻击的意思就是，把高维变到低维。

这是米开朗基罗的一个大卫头，我们将这个大卫头三维的曲面平展到二维的平面上，这样就把三维变成了二维，把弯曲的空间变成了平直的空间。

我们看它所有的细节，大卫头的眼睛和耳朵映到平面保持没有发生改变，非常复杂的头发映过来也没有发生改变。刘慈欣作为一个作家，他用非常瑰丽的想象，想象出降维攻击实际上在几何上的确存在。

通过保角变换我们的确可以实现降维，把三维变成二维。极大地简化了计算问题。在微分几何和共形几何中，有一个非常深刻的定理，我个人觉得也是整个几何界的具有奠基性的一个基本定理叫大一统定理。

（大一统定理：克萊因、龐家萊單值化：任意度量曲面都可以共形地映射到球面、歐式平面或者雙曲曲面上。）

根据这个定理，所有的曲面都可以在保角的变换下变成三种标准几何中的一种或者变成球面或者变成欧式空间或者变成双曲空间。

大一统定理的含义非常深远，它能说明从你当下所处的地方一直到宇宙的边缘，所有三维实体的表面都是曲面。所有的曲面无论多么复杂，无论怎么千变万化，最后都会归结为三种中的一种，万宗归一。

有了这个大一统定理之后，我们生活中怎么具体来应用？从大量的实例来看，这些深刻的数学理论在现实生活中是非常有用的。

电子游戏，人人都爱，电子游戏最大的一个突破叫纹理贴图。纹理贴图怎么解释呢？

在游戏公司里，有两种艺术家。一种艺术家是做雕塑的，比如我们大家看到上图中的白模，白色的雕塑。另外一类艺术家，他们是为这个雕塑涂上颜色，画出皮肤、画出纹理、画出铠甲的。第二类艺术家只能在平面上进行作画，这就需要一个技术，就是把平面的图画贴到三维的曲面上并且使它畸变尽量地减少。比如说我们在平面上画上大理石的纹路，然后把这大理石的纹理贴到这个大卫头上，得到的就是下图这种大理石雕塑的感觉。

在纹理贴体图技术发明之前，整个计算机图形学发展得非常的原始。所渲染的物品，看起来非常的不真实。正是因为这个技术的发展，使得游戏，还有动漫产业变得非常普遍。

但是也遇到一个矛盾，如果我们想打一个非常复杂的游戏，那要保证它渲染的速度。如果游戏的几何体过于复杂，三角面片太多，速度就会特别慢。一方面你想得到非常精细的法向量的信息，一方面又想使数据量减少。如何解决这个矛盾呢？

在图形学中有一个技术，叫做法向贴图。就是说我们把这个曲面摊平，摊到平面上。然后我们可以看到，每个Pixel，有3点，有3个颜色，红绿蓝。用这个红绿蓝，代表法向量的XYZ。法向贴图可以非常细腻，但是几何可以特别粗糙。这样就同时兼顾了渲染的法向量的效果，又减少了数据量，提高了整个运算速度。所以法向贴图也是整个电子游戏界，一个非常基本的技术。

这里最难的就是，如何保证把三维的复杂曲面印到二维平面上来，同时使得每个区域可以按照你的要求放大或者缩小。比如说我们想放大这个怪兽的翅膀范围，如何使得这个翅膀变得比较大。如果我们想突出某个部分，使这个部分比较大，这后边用到很深刻的几何原理。大家天天都在打的电子游戏，最深层的研发和设计是用到非常深刻的数学原理的。

在安防领域，也用到大量的计算机视觉的知识。三维人脸识别、三维人脸注册，非常普遍用到的数学几何原理。

给定两张三维人脸，如何在他们之间，建立比较好的一一映射？我们的方法就是把三维人脸，用黎曼映照，映到二维的圆盘上。这样通过降维攻击，就把这三维问题变成了二维问题。二维问题，会简化非常多。

三維幾何問題轉換成二維圖像問題▼

比如说我们要把这个男孩的这张脸映到女孩这张脸。那么第一步，我们可以用一些机器学习的方法，找到人脸上的特征点，比如眼角、鼻窝还有鼻尖，然后使特征点对齐。第二步，使得整个的畸变达到最小。使畸变最小这个映射，被称为泰希米勒映射。

畸变由什么决定呢？是由两族Foliation（叶状结构）决定，调和叶状结构决定。换句话说，这个映射后边蕴藏的数学，和大兴机场蕴藏的数学是一致的。

那么为什么我们要得到非常精细的映射呢？主要是为了做精准医疗。欧美的白人他们祖先生活在寒带，所以他的基因中缺乏抵御紫外线的功能。所以对于白人来讲，非常容易得皮肤癌，也就是所谓的黑色素瘤。黑色素瘤非常小，肉眼几乎不可见，低于毫米。如果用人工去筛查这个黑色素瘤就会非常痛苦。我们就发明这种方法，同一个人每隔一年扫描一次，然后精细地筛查在皮肤上逐点比较看哪一点皮肤发生突变。这样可以非常自动地找到这个黑色素瘤。所以我们可以看到，计算机视觉在医学上也有很深的应用。

动漫领域，这些方法也有很好的应用。在动漫电影中，动作捕捉和表情捕捉是非常关键的技术。比如武打片的动作捕捉，就是要得到各个关节的信息。但是动作捕捉非常容易，因为人的关节只有几十个，表情捕捉却非常难，表情的自由度有无穷多个。所以现在整个动漫产业，最困难的就是表情捕捉。那么怎么进行表情捕捉呢？

我们把动态的三维人脸，通过黎曼映照映到二维的圆盘上，然后用刚才的方法可以建立帧与帧之间的一一映射。

把一张蓝色的四边形网格贴到第一张脸上，那么它依随这个人脸的变化而变化。这个蓝色网格上每一个点会得到三维空间中的一条轨迹，这个轨迹就代表了这个表情的信息。我们可以把这表情信息拿出来，去移植到其他的卡通人物身上。

这是我们做的一个实验。把三维的人脸表情拿下来，然后进行表情捕捉。这样，我们就建立一个虚拟演员的概念。

现在小鲜肉拍摄非常非常昂贵。那么我们是不是可以把他的所有的表情以三维的方式记录下来，然后导演来决定，到哪一个情节、哪一个台词，用什么表情，从数据库中给它取出来。如果这样，我们不需要这个演员真正来出演，只需要得到他的数字版权就可以。

在这边我们找了一个演员，把他的一些标准表情给数字化，然后做了下面一个非常小的一个电影片段。这边的整个场景是假的，是用Maya（三维动画）做的。人也是假的，表情也是假的。所以我们相信虚拟演员这个技术，未来可以在VR、AR中很大地普及。

在虚拟现实、增强现实中，数据压缩是一个非常关键的问题。比如我们为了表达一张老人的脸，饱经沧桑、满布皱纹，需要大量的几何信息。如果要通过无线网络来传递这个信息，或者是本身硬件性能比较差，渲染速度就非常慢。如何来压缩这个复杂的几何信息是一个非常关键的问题。

用刚才的大一统定理，我们把一个老人头映到平面的圆盘，然后再控制每个区域在平面上的大小。比如说它曲率比较高的地方，皱纹比较高的地方，让它在平面的区域变得比较大。

比如这幅图，我们在平面上采样，采样之后在平面上重新进行三角剖分得到这个简化的模型。这边如果我们只用2000个这个采样点，得到的是左侧这张人脸。如果用4000的话得到右侧这张人脸。所以增加采样率，可以使得图像几何的特征越来越细腻。这样就可以求得一个渲染的质量和这个所谓的空间的存储一个很好的一个平衡。这是在VR、AR中几何压缩的一个应用。

在医学图像领域，共形几何用得也非常广泛，比如说共形脑图。人的大脑，形状非常地复杂，有很多沟回，这些沟回，随着岁月的增长是会发生变化的。比较两个大脑本身来讲非常困难。通过刚才大一统定理，我们知道存在一个共形变换。把大脑映到单位球面上，并且这个映射，基本是唯一的。得到这个映射之后，我们为大脑的每一点，确定唯一的经纬坐标。这样可以在大脑上精确地定位，进行比较。

老年痴呆症是一个非常普遍的一个疾病。人的大脑根据功能有很多种分区。比如最中间的这个山谷，是胚胎期最先形成的一个皱褶，人的感情，基本存在这个皱褶两边。

下图中，不同颜色代表不同的功能区域。有的区域主管语言，有的区域主管着运动，有的区域主管感情，有的区域主管推理。老年痴呆，是对应的某些功能区域会发生萎缩。

如果我们通过共形脑图，来进行精确的比较，发现老人的语言中枢开始萎缩，可以让他学一门新的外语，这样就可以延缓他老年痴呆症状。如果他的感情中枢开始萎缩，让他多参加社交，如果他的运动中枢开始萎缩，让他去跳广场舞，这样可以加强对这个区域刺激。

在医学图像中的，另外的应用，是关于癌症检测。直肠癌，是男子的第四号杀手，普通男子过了中年之后，肠子里面会长出一些息肉。如果息肉的位置长得不对，经常地摩擦溃疡，摩擦溃疡之后复合，复合之后又反复摩擦溃疡，它的DNA复制次数就会非常多，这样就非常容易出错，出错之后就会形成癌变。

从一个息肉变到癌变，一般需要5到8年，如果在这期间，进行了肠镜检查，就可以非常有效地预防和防止。但是传统的肠镜检查非常痛苦，病人需要全身被麻醉，同时肠镜检查的方式具有非常强的侵犯性。并且老年人的肠壁肌肉非常薄弱，很容易产生非常强烈的并发症。

还有一个很大的问题，直肠有很多皱褶，如果我们的息肉长在皱褶里面的话，传统的光学方法是看不到的，所以用传统的检测方式来进行检查会有大概30%的漏检率。

于是我们就发明了虚拟肠镜的方法，核心的想法就是--把肠子的皱褶打开摊平到整个平面上。如果以传统方式来检查，在活人身上是不可能实现的，但是用数字模型可以做到这一点。虚拟肠镜可以把所有肠壁的皱褶给摊开，把所有的息肉暴露出来，然后我们用CT来扫描人的直肠得到数字模型。于是，医生就可以戴上VR眼镜，来观察肠道的内壁。

我们来看一个简单的例子。用伪彩色表达肠道内壁，那核心的话我们是要寻找一些肿瘤，或者一些比较大的息肉，那么在这个肠道中探索这个和真实的光学肠镜这个体验是非常相近的。通过这种方法我们就能看到一些比较可疑的息肉。

虚拟肠镜有非常多好处。第一，病人不需要全身麻醉。第二，医生和病人没有肢体接触，第三，我们能暴露所有潜在的息肉，提高诊断的准确率。

这个技术现在北美和日本用得非常普遍，在中国大陆，所有的医院几乎都有这套算法但是很可惜没有被真正用起来。那么它后边基于的是什么？就是我们讲到大一统定理欧式的情况。非常艰深的几何用于医疗，的确挽救了非常多的生命。

智慧制造，是现在发展方兴未艾的一个方向。如果需要我们用碳素纤维编织一个复杂的曲面，那么如何把曲面变成编织的模式，这就需要计算叶状结构。

通过几何可以把复杂的曲面，分解成两组调和的叶状结构，黑色代表一组，白色代表另外一组，它们彼此编织起来可以构成任何复杂的形状。在现实生活中，只要有了计算出来的叶状结构，我们就能够用碳素纤维把它编织出来。

我们再看一个更复杂的模型，人手的模型，左侧的红色和蓝色代表两族叶状结构，右侧是用叶状结构得到的编织模型。真正编织出来的这个三维的形体，按照复杂曲面上的叶状结构而得。

这个结构在计算力学中是非常有用的。比如说我们设计了一个，汽车的发动机。制造一个发动机非常昂贵，在制造之前，我们需要对它进行模拟仿真。模拟仿真的意思就是说在这个发动机上要解一些偏微分方程来计算它的力学特性、热力学特性、电磁特性。为了保证计算的精度，我们需要在这个曲面上进行四边形网格剖分，使剖分尽量地均匀，奇异点尽量地少。

发动机设计，存在于工业界六七十年，但是一直介于艺术和科学之间。没有一种完全自动的方法，完全靠人的手工去调整。直到最近我们才发现，原来这种技术强烈地依赖于一条非常古老的定理，一条阿贝尔和雅可比几百年前发现的定理。但是找到这个定理和这个工程问题之间的联系，花了人们几十年的时间。

在智能制造中，人们用数控机床来加工各种各样的金属毛坯，用金属车刀来车这个金属的时候，要计算车刀的速度和加速度。这就需要毛坯的曲面，一定是光滑可导的。在动漫动画领域中，曲面不需要可导，只需要连续就可以。但是在机械加工领域，曲面一定要可导。这就需要把粗糙的点云信息，变成样条曲面。这一步也需要把曲面先映到平面上来，在平面上去架设比较光滑的样条，这项技术用到的是同样的这个几何原理。

智慧材料，现在发展非常神速，核心是因为3D打印技术的出现。比如说我们想设计一个防弹衣、防弹面罩，需要用到一种自然界并不存在的负泊松比材料。在自然界中所有的材料都是正的泊松比。一块长方形的橡皮，当你上下挤压它的时候，它的左右会突出。左右挤压的时候，它上下会突出。但是负泊松比，你上下挤压它的时候它左右会收缩，你左右挤压的时候，它上下会收缩。如果用负泊松比材料制作防弹衣或防弹面罩，当一个子弹打来的时候，它受力的地方密度会变得更加大，从而达到非常好的防弹效果。这种不存在于自然界的材料，可以通过设计这种材料的几何的微元用3D打印制造出来。

下图用红色圈出的蓝色结构，代表材料的微元。按照传统的方法，微元只能在平面上设计。我们想做一个三维的面罩的话，需要把人脸的面罩映到平面上，然后把负泊松比材料面元铺到平面区域再拉回到三维的曲面，最后通过3D打印实现出来。

另外一个例子，如果我们想设计超轻超硬材料，想让材料尽量的轻，但是尽量的硬。怎么做呢？在自然界中，金刚石它的晶体结构是最硬的，那我们就仿照金刚石的结构，做一个微元。然后把这个微元，平铺到超轻材料的兔子内表面，那么这个兔子的整个质量还是非常轻盈，但是硬度会超过所有的材料。

智慧材料的设计，需要我们把曲面平铺到平面上，然后把平面的设计推广到曲面上。这样的过程也离不开刚才讲到的大一统定理。

闵科夫斯基问题和亚历山大问题是两个非常古老的定理，有上百年历史。这两个问题的描述是非常简单的。比如说在三维空间中，我给了你一个凸曲面，这个凸曲面每个面的法向量给定，每个面的面积也是给定的。那么闵科夫斯基问，你能不能把这个凸多面体给确定下来？他证明这个凸多面体是存在的并且是唯一的。亚历山大，是这个问题的推广。比如我们给了一个开放的凸多面体，每个面的法向量已知，投影面积已知。我们能不能把这个凸多面体求出来？

閔可夫斯基和亞曆山大問題▼

为了表达这个两个问题，我们需要用到比较复杂的偏微分方程叫做蒙日-安培方程。这个方程有什么用呢？它实际上是奠定了，统计深度学习的基础。深度学习现在非常成功，但是处于谁也解释不清楚的一个地位。那么如何来打开，深度学习的黑箱是目前学术界最为关注的一个问题。

首先，深度学习究竟在学什么？什么是我们最终深度学习的目标？根据我们的观点，所谓深度学习的目标，是流形上的概率分布。怎么讲，比如说我们想学习所有的人脸图片，把每张人脸图片看成一个点，这个点的维数，等于它像素的数目，达到几十万维，非常高。但是在整个几十万维的图像空间里面，我们只考虑人脸的图片，它构成一个点云，这个点云构成了一个维数非常低的弯曲的空间，是一个非常低维的流行。人脸图片，在这个流行上分布也不是均匀的，有些地方会稠密一些，有些地方会稀疏一些。那么通过深度学习方法，我们把弯的流行打到隐空间，或者特征空间里面。然后，我们还要调整映射使得在隐空间中的概率分布和原来流形上分布比较一致。

比如我们这边画一个弥勒佛的曲面来代表这个流形，把它打到二维的隐空间上。摊平之后我们看，如果在流形上的分布是均匀分布，那么在二维平面上也是均匀分布。那么就是说这个映射，第一它降维，第二它保持分布不变。降维，有很多种方法，比如说Auto-Encoder（自动编码器）。但是降下来之后，它概率分布发生了变化。怎样保持分布不变呢？第一步，你需要找到一个变换，把标准的概率分布比如说高斯分布或者是均匀分布变成数据分布。第二步，需要解最优传输问题。最优传输问题的本质，就是刚才讲的亚历山大问题，是一个凸几何问题。表面上看蒙日-安培方程和科夫斯基的问题和深度学习是风马牛不相及的，但实际上这确实是用来解释深度学习黑箱的一个最关键的一个钥匙。当然这是特殊指的是统计深度学习。

人工智能有两大流派，一个是联结主义，一个是符号主义。符号主义代表作是吴文俊先生的吴方法，吴方法的本质是代数几何，是代数几何环的理想的生成理论，实际也是几何。联结主义对应统计学习，联结主义中必然要用到最优传输，也是凸几何理论。所以我们看人工智能，它的最后的理论根基还是归结于几何。

来看一个简单的例子显示计算效果。我们用很多人脸图片，学习了人脸图片的流形，在流形上均匀采样。采样的每一个采样点就是一张三维的人脸，一张人脸图片。流形中的任意一个曲线段就是一个变换过程，从一张脸渐变成另外一张脸。我们不知道这些人是不是存在过，也不知道他们未来是不是会存在，但是我们人眼分辨不出来这些人脸是真的还是假的。这个实验用的还是刚才讲的蒙日-安培方程和科夫斯基的问题。

非常古老的几何问题，用来解释了目前最为先进的计算机科学的领域和人工智能，并且为解决人工智能的黑箱奠定了很深的基础。所以总结一下，微分几何，还有共形几何在计算机科学中很多方面的应用。我们可以非常信服地告诉大家，几何的确是现代科技的一个非常深刻的基础。

如果大家仅仅只想发表论文或者泛泛做一些研究，不需要去追求非常深刻的几何。但是如果想做出具有原始的独创性的问题，一定需要学习比较深刻的几何。各位年轻人，希望大家为几何的发展贡献自己的精力，为祖国的科技发展贡献自己的青春。

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