如何不用微积分算个球？

中科院物理所

前段时间有人问小编，球的体积计算公式是什么？

由于长期依赖各类搜索，再加上对睡觉，刷剧，电子竞技等一系列新兴趣的开发，这些似曾相识的公式早被我抛诸脑后。之后再拿起笔尝试推导我才愕然发现，基础的微积分计算法则好像也有些生疏了。

于是我开始了相关探索，半天下来，不仅成功算了个球的表面积，还算了个球的体积，而这个过程，和微积分法则毫无关系。那么怎样不用微积分就能算个球呢？

Credit: 3blue1brown

首先，抛弃了微积分这一曲线计算利器，我们的替代工具是：一点点相似三角形知识，一点点空间想象力，再加上中国古代数学家智慧的结晶——祖暅原理。

算个球的表面积！

众所周知，球的表面积公式是 4πr²，正好是同半径圆形面积的 4 倍，这不禁让人浮想联翩，为什么正好是 4 倍呢？难道圆形面积和球体面积之间有什么不可告人的秘密？顺着这个思路下去你可能会觉得完全无从下手，感到弱小，可怜，又无助。

这也正是我初期经历的心路历程，直到我发现了另一个秘密：4πr²正好是这个球外接圆柱的外围面积。

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想象一下，如果把球表面划分小块，沿水平向四周投影，按理来说，这样投出的小块就可以正好铺满外面这个”圆筒”。因为圆筒的面积是圆周长乘上筒高：2πr*2r = 4πr²，和里面这颗球的表面积不谋而合！

就像下图右上角示意的那样，球上的小块被投影到圆筒上会变形，它们的宽度可能增大，而高度会相应变小。

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小块可以从平视和俯视两个方向来观察。那我们就来看看，投影过程中，我们的小块到底经历了什么不为人知的变化。

先看俯视图：

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从中心轴往外投影，聪明的你一定已经发现，投影的距离越远，小块就会变得越宽。

所以纬度越高的地方，也就是越靠近上下顶点的小块，投到圆筒上之后，宽度增加得越多；位于赤道上的小块与圆筒相接，宽度也就不发生变化。

EF 被拉长成了 CD

如果你知道相似三角形的比例关系，由于 △AEF和△ADC 相似，所以，这个增大的倍数是 r/d，也就是

CD/EF = r/d

对于球上不同的纬度，d 会改变，而球的半径 r 不变。越靠近两极，d 越小，r/d 就越大，小块的宽度增加也就越多，这和我们观察到的现象一致。

类似地，可以看看平视方向的情况：

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显然，这个方向上的投影会让小块的高度萎缩，也就是黄色的线段长度会缩短。

因为球的体态圆胖，越靠近两极，小块越是趋近“平躺”，投影之后高度萎缩的也越多；而在赤道上，小块直立，投影不改变小块的高度。

JH 投影后萎缩成了 EF

显然 ∠α=∠β=∠γ，于是 △HAD，△HIJ 两个三角形是相似三角形，根据比例关系，我们知道：

EF/JH = d/r

也就是说，平视方向投影会让小块高度萎缩，缩小比例是 d/r。

于是神奇的现象发生了，球上的每一个小块经过投影之后形状的确会发生变化，宽度拉长了 r/d 倍，同时高度萎缩了 d/r 倍，而这两个倍数相乘正好等于 1。

如此一来，小块投影前后的面积其实没有变化！仅仅利用几个三角形，我们就开心的证明了：计算球的面积可以用外接圆筒的面积来替代。

投影变化前后，小块的面积不变

那么，算个球的表面积 S_球 = S_筒= 2πr*2r = 4πr²。

祖暅原理

祖暅原理又叫 Cavalieri’s Principle（卡瓦列里原理），因为卡瓦列里在17世纪提出了类似的等积原理，用于复杂几何领域，但实际上祖暅的发现比他早了1100年。

“幂势既同，则积不容异”这句话就出自于祖暅。如果你对高中数学课本有印象，也许记得这里的“幂”指体积，“势”则为高度。意思就是：高度相同的物体，如果每个剖面面积也一样，它们的体积就相等。

祖暅原理的提出本是为了解决计算牟合方盖的体积问题，从而算球的体积。但现在更加常见的用法是下面这样:

图中球的体积等于圆柱去掉两个圆锥的体积，原因就是它们每个剖面的面积都相等。有兴趣的小伙伴可以用半球为例，试着计算。

利用上图很容易发现，在高度是 h 的地方，球的截面积是：π*（r²-h²），而圆柱减去圆锥的截面积是：πr²（圆柱截面）-πh²（圆锥截面），它们正好相等。

于是，算个球问题一下变成了算圆柱和圆锥的体积问题。

算个球的体积！

了解了祖暅原理，我们就可以绕过微积分，直接算球了！

由祖暅原理，半球的体积经过我们巧妙的转化，成了用圆柱和圆锥的体积来表示。

众所周知，圆柱体积是圆面积和高度相乘，V_圆柱 = πr²*r = πr³。而圆锥的体积，假如你不知道，查阅资料会发现 V_圆锥 = πr³/3，正好是圆柱的三分之一。

好奇宝宝也许会问，三分之一是怎么来的？既然你诚心诚意的问了，祖暅会大发慈悲的为你解答。

我们还是逮住之前的那个圆锥（截面面积是πh²），然后把烦人的 π 除去，截面积就成了 h²。那么谁的截面积是用 h²表示呢？答：边长和高度都是 r 的四棱锥。

a. 除去 π 后，圆锥变成了四棱锥（平视图）

b. 四棱锥每一个横截面都是边长为 h 的正方形（斜视图）

这下好了，仅仅是做了个除法，问题似乎已经简单多了！

但你可能还是会问，四棱锥的体积又要怎么计算呢？别着急，我们先好好观察一下这个四棱锥。它的顶点在中心上方，感觉还是不够友好，怎么能再变换一下形状呢，没错，是时候祭出祖暅原理了。

把顶点移到一个角上，新的四棱锥有三条互相垂直的边，并且体积不变

到了这里，问题基本上已经解决了。什么，你还没看出来？调动你的空间想象力，调整一下角度，把这样的四棱锥放在正方体里似乎正合适，你能看出可以同时放进几个吗？

为了让你们相信是 3 个而精心制作的 gif 动图

是 3 个！万事大吉~

正方体的体积显然是 r³，这样一来，四棱锥体积就是 r³/3。接着，对应圆锥的体积只需要乘上 π，V_圆锥 = r³/3*π。最后半球的体积 V_半球 = V_圆柱- V_圆锥 = πr³-πr³/3 = 2/3 (πr³)，所以 V_球 = 4/3 (πr³)，是不是和书上写的公式一模一样呢！