塑胶分割及其在建筑设计上的应用(修改稿)
以下文章来源于遇见数学 ，作者蒋迅
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前不久，笔者谈过“黄金分割和白银分割及其在建筑学中的应用”。其实，黄金比例和东方比例并不是建筑设计中的唯二选择。这次我们再介绍一个塑胶比例及其在建筑设计中的应用。
所谓塑胶数()是指代数方程 的唯一实数解 ：
显然，塑胶比例也像白银比例一样也是黄金比例的一个推广。白银比例是一种在平面上的推广，而塑胶比例则是一种向空间的推广，因为它的方程中出现了三次方。为了更直观地看到这一点，让我们看下面的两个图：
在图 1 的左边，我们看到的是黄金比例使得两个矩形中的三个对角共线；右边表示的是塑胶比例使得两个立方体的三个对角共线。所以，塑胶比例是黄金比例在三维空间的推广。
让我们再从另一个角度来比较黄金比例和塑胶比例。
如图图2（上），给一条线段 ，将 按黄金分割的比例在中间加一个点 ，使得 。然后在大的子区间 上再次按黄金分割加一个点 ，使得 。这时，我们发现，。现在我们把这四条线段按长度排序，就得到了图 2（下），其中有
也就是说，我们得到了对称的两个点（或者说两个线段）。从建筑学的角度来说，这不一定是一件好事，因为建筑师追求的的是和谐与相似。
现在让我们重复上面的步骤，如图 3（上），将线段 按塑胶分割的比例在中间加一个点 ，使得 。然后在大的子区间 上再次按塑胶分割加一个点 ，使得 。我们看到，这时 。我们把全部六条线段按长短排列出来（图 3（右）），我们发现：
从和谐的角度来看，这个结果比黄金分割给出的结果好多了。
下面的图4是黄金矩形和塑胶矩形的对比。
图 4（右）的塑胶矩形看起来似乎没有那么美妙，因为它过于“肥胖”。不过，从建筑学方面来看，它也有其独到之处。事实上，提出这个数的正是 1928 年一位荷兰本笃派教士、建筑学家汉斯·范德兰（Hans van der Laan，1904–1991）从建筑设计的角度提出的。我们不知道他为什么用了塑胶数这个名字。可能范德兰当时感觉到了第一次世界大战后，化学技术的进步导致了新型塑料的爆炸式增长，特别是德国人开发的聚苯乙烯（PS）和聚氯乙烯（PVC）。
范德兰认为人们在心里上其实是按这个数来为物品分类的。当然人们不会把一个无理数用于日常。他用的是一个近似值：。他的思考是这样的：比如你有一大堆大大小小的圆圈，你可以按半径给它们排序。但如果你想把它们分为大、中、小类，那么两个圆相差多大你就认为它们应该属于两个不同的类呢？这个问题大概属于心理学的范畴。范德兰请人做了一个实验。他的结论是，当两个圆的半径比值大于 时，它们就应该属于不同的两类；当两个圆的半径相差 时，它们就应该属于同一类。所以给定一个线段，把它分成七等份，那么从左边数在第 个结点上把这个线段分为两节，那么就相当于用塑胶比例进行划分了。
范德兰用这个思想建造了许多建筑。下面是他在 1967 年为荷兰的圣本尼迪克图斯贝格修道院（St. Benedictusberg Abbey）设计的教堂。见图 5：
另一个更精彩的作品是他设计的罗森堡修道院（Roosenberg Abbey）的入口。这个修道院在比利时。如果读者有机会去参观，请告诉我们你看到了多少塑胶矩形。
让我们再看几个塑胶比例的性质。塑胶比例也可以写成连分式，但其结果并不漂亮。如果用连根式的话，就漂亮多了：
能有比这个更简单的连根式吗？那就是：
黄金比例可以生成黄金螺旋，而塑胶比例也可以生成一个封闭的螺旋。见图 7，假定中间的等边三角形的边长为 6，在它边上的三个灰色等边三角形的边长为 ，它们周围的三个浅灰色的等边三角形的边长为 ，依次类推，无限次地进行下去。这些三角形就形成了三个螺旋并覆盖了整个区域。
还有一个用边长按塑胶比例缩小的正方形系列做成的正方形向内螺旋的方法。这个方法也很有趣。
给定一个正方形。问如何能把它划分为三个相似的矩形？答案是一共有三种办法。其中之一就要用到塑胶比例 （准确地说是 ）。我们把细节留在下面的图片里：
建筑风格是百花齐放的。黄金比例、白银比例和塑胶比例是其中的几个重要的例子。奇妙的是，它们在一组简单的代数方程下达到了统一。这就是数学的力量。
鸣谢：衷心感谢沈作栋老师指出本文中的错误！
参考文献
C. Voet, Between Looking and Making: Unravelling Dom Hans van der Laan’s Plastic Number, Architectural Histories, 4(1), 2016.
三维世界中的“和谐”比例–塑料常数, https://dalaoliblog.wordpress.com/2018/07/19 .
https://en.wikipedia.org/wiki/Plastic_number .