庞加莱是当代法国伟大的数学家、物理学家、哲学家、工程师，被誉为人类最后一个啥都懂的人，其学问达到了现象级的深度。庞加莱是一个自成一类的科学家，主导了他所处时代的数学与物理，对所有他投身其中的领域他都做出了重大贡献，其对相对论和量子力学的贡献都是奠基性的、一锤定音式的。庞加莱还是哲学家，其实用偶然主义对科学实践具有普遍的指导意义，而他的那些普及科学的优雅文字将持续影响着这个世界。
平庸的人关注非凡的事物，伟大的人关注平凡的事物。
——帕斯卡
引 子
物理学有一个分类法是按照研究对象的多少划分的，包括单体问题、两体问题、少体问题和多体问题。近些年来，很多人的聊天词汇里多了个三体的概念。三体问题（three-body problem），一开始是个特别自然的天体物理问题：太阳-地球-月亮这样的靠万有引力相互作用的体系是否是稳定的？这是个标准的杞人忧天。三体的动力学问题没有闭合形式的通解，对于一般的初始条件都会表现出混沌行为（chaotic behavior）。混沌从此成了一个重要的交叉学科概念。这个概念出自法国伟大的数学家庞加莱的工作。1890年，庞加莱在一篇长达270页的论文里为三体动力学问题的解决提供了系统的思想和数学技术，还让混沌等概念成了社会性概念。
提起数学家，有个关于数学家判据的说法和庞加莱引理有关，非常有趣。如果有一个人睡得迷迷瞪瞪的，你一脚把他踹醒，问“什么是庞加莱引理？” 答不上来的，肯定算不上数学家。庞加莱引理（Poincaré’s lemma）有如此高的地位， 可用作数学家的判据，估计会让许多人感到惊讶。庞加莱引理谈论的是开单位球上微分形式的零调性质。若U是Rn空间的开球，Ek(U)是U上的微分k-形式（differential k-form）空间，则对于k≥1， 存在线性变换 ![]()
，使得![]()
，其中d是外微分符号。庞加莱引理的推论之一是，若ω是开单位球体上的一个微分k-形式，且dω=0，则存在一个微分(k-1)-形式，有dβ=ω。在矢量分析或者微分拓扑中， 外微分为零的形式，dω=0，是闭合形式；而一个微分k-形式如果是外微分，ω=dβ，则称其是精确形式。一个精确形式肯定是闭合的，但逆定理不一定成立。在可收缩的域上，庞加莱引理保证闭合形式也必是精确的。这部分对于未学过高等数学的读者来说有点难度，可以跳过。读者需要记住的是，这个庞加莱引理的推论在物理学上有诸多应用， (引力、电磁的) 势理论，Stokes theorem，这些物理学至关重要的内容都与其有关。一般的物理教科书不走高深路线，不太提这些内容，但如果你熟悉这些内容，你在学数学物理的时候容易有豁然开朗的感觉。
庞加莱被誉为人类最后一个什么都会的学者（the last universalist），一个全面型的专家（universal specialist），他对数学、物理以及哲学的贡献是全面的、独特的。庞加莱是自成一类的学者。对庞加莱，笔者怀有无限的崇敬。
庞加莱小传
庞加莱（Henri Poincaré，1854-1912），法国数学家、物理学家、工程师、哲学家，毫无疑问的polymath，被数学界称为最后一个啥都懂的人（图1）。他之后的希尔伯特也算数学啥都懂吧，但论物理就差太多了。法语维基百科词条比较谦虚，称其为最后的啥都懂大学者之一 (un des derniers grands savants universels)。庞加莱1854年出生于法国南希的一个大户人家，父亲是南希大学的医学教授。之所以说庞加莱家是大户人家，是因为这家人才辈出，其中他的一个堂弟Raymond Poincaré是法语学院的院士（fellow of Académie française），在1913-1920年之间是法国总统。与此可比的是热力学奠基人卡诺（Sadi Carnot，1796-1832），其父是巴黎工科学校的数学物理教授，后来他的一个侄子成了法国总统。
庞加莱小时候身体不好，由其母欧也妮（Eugénie Launois，1830–1897）亲自启蒙教育，1862年进入南希帝国学校（lycée impérial de Nancy，如今名为庞加莱中学校）上了11年学，各科全优，被数学老师称为数学大魔头。庞加莱1873年进入巴黎工科学校，1875年毕业。在巴黎工科学校，庞加莱跟着厄米特学数学，成绩依然优异并在1874年发表第一篇学术论文“面指标性质的新证明（Démonstration nouvelle des propriétés de l'indicatrice d'une surface）”。1875 -1878年间，庞加莱在巴黎矿业学校（École des mines）学习，1879年获得采矿工程师学位；同期从巴黎大学毕业，在厄米特指导下获得了科学博士学位，论文题目为“论由偏微分方程所定义之函数的性质（Sur les propriétés des fonctions définies par les équations aux différences partielles）”。具体说来，庞加莱这是发明了新方法研究偏微分方程的性质，他不仅研究这些方程可积的问题，还是第一个研究这些方程一般几何性质的人。
庞加莱的第一份工作是1879年在卡昂（Caen）大学当讲师。在那里，他得到了一个重要研究成果，是关于自守函数的。到1881年时27岁的庞加莱即已经确立了欧洲最伟大数学家的身份。1881年庞加莱转往巴黎大学，在1881-1882年间他发展了新的数学分支——微分方程的定性理论，对于某些微分方程在未加求解的情形下就可以获悉关于解的最重要的信息。1883-1897年间庞加莱在巴黎工科学校教授数学分析，1896年获得巴黎大学的数学天文学和天体力学的教席；在巴黎大学他占据的教席还包括力学，数学物理，概率论等。庞加莱备受法国学术界推崇，1886年即当选法国数学学会主席，1900年再次当选， 1902年又当选法国物理学会主席。1887年32岁的庞加莱入选了法国科学院（French academy of Science），1906年成为其主席；1908年庞加莱还当选法语学院（Académie française）的成员。法语学院也是法国学术机构（Institute de France，不要和法兰西学院，Collège de France，弄混了）下设的机构，是涉及法语事务的专门学术团体，始终保持40名成员的规模。1893年，庞加莱加入法国国家标准局，参与时间同步校准的工作，这份工作引导他考虑划分国际时区以及在运动物体间如何进行时间校准的问题，而这是相对论的关键。庞加莱还曾三次当选法国长度标准局（Bureau des Longitudes）主任。物理标准的建立是学（做）物理的起点，庞加莱的相对论成就与在标准局的任职有关~读者是否还记得爱因斯坦创立狭义相对论时是在瑞士国家专利局工作的。庞加莱以数学家、物理学家的身份闻名于世，但也一直没有放弃他矿业工程师的身份，1881-1885年他负责法国北部铁路的修建，1893年升为矿业集团主任工程师，1910年升为总监（inspector general）。
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图1. 书房里的庞加莱
1. Automorphic functions, uniformization（自守函数，单值化）2. The qualitative theory of differential equations（微分方程的定性理论）3. Bifurcation theory（分岔理论）4. Asymptotic expansions, normal forms（渐近展开，范型）5. Dynamical systems, integrability（动力学系统，可积性）6. Mathematical physics（数学物理）7. Topology /analysis situs（拓扑）9. Algebraic geometry（代数几何）
至于天文与物理，庞加莱的成就包括提出了混沌理论，其对经典力学、流体力学、电磁学和光学的贡献可能不是很显著，但是对量子力学和相对论的建立其贡献确实奠基性的、一锤定音式的。
在庞加莱身后，法国科学院为他出版了11卷的文集（Œuvres publiées sous les auspices de l'Académie des Sciences），具体地：
Tome 1, Équations des différentielles（微分方程）Tome 2, Fonctions Fuchsiennes（福克斯函数）Tome 3, Équations des différentielles, Théorie des fonctions（微分方程，函数理论）Tome 4, Théorie des fonctions（函数理论）Tome 5, Algèbre, Arithmétique（代数，算术）Tome 6, Géométrie, Analysis situs（几何，拓扑）Tome 7, Principles de mécanique analytique, Problème des trois corps（分析力学原理，三体问题）Tome 8, Mécanique céleste, Astronomie（天体力学， 天文学）Tomes 9-10, Physique mathématique（数学物理）Tome 11, Mémoires divers-livre du centenaire（各种纪念文章，百年诞辰纪念文集）
此外，庞加莱尚有大量关于各种数学和各科物理课程的讲义，比较有名的有《天体力学讲义》三卷等。
庞加莱还是数学、物理的普及者，为公众撰写了不少书目。庞加莱的部分著作目录如下：
1. Sur les propriétés des fonctions définies par les équations aux différences partielles : premiere these（论由偏微分方程所定义的函数的性质）, Gauthier-Villars (1879).2. Les méthodes nouvelles de la mécanique celeste（天体力学新方法）, Gauthier-Villars, Tome 1, 1892；Tome 2, 1893；Tome 3, 1899.3. La Science et l'Hypothèse（科学与假设）， Flammarion (1902).4. La Valeur de la Science（科学的价值）， Flammarion (1905).5. Cours d'astronomie Générale（普通天文学教程）, École polytechnique (1907).6. Science et Méthode（科学与方法）， Flammarion(1908).7. Savants et écrivains（学者与作家）， Flammarion(1910).8. Ce que disent les choses（事如是说）, Hachette(1911).9. Dernières Pensées（最后的思想）， Flammarion(1913).
鉴于庞加莱的学术地位与影响，他的著作大多都有多种语言的版本，如《科学与方法》《科学与假设》等还有中文版。
庞加莱的数学成就
庞加莱首先是个职业数学家，涉猎了几乎所有的数学领域。其实，数学哪有什么领域。记得是希尔伯特说的，数学不分专业，只分会与不会。试图介绍庞加莱的数学成就超出本书的范围，尤其是超出作者的能力。此处摘取两个比较著名的例子给予简短的介绍。3a)庞加莱圆盘。庞加莱圆盘是一个由贝尔特拉米（Eugenio Beltrami，1835-1900）提出但经庞加莱才变得驰名的双曲几何模型。考察平面上的一个圆盘，用复数表示，就是集合![]()
；如果我们赋予其每个点上以如下的度规，其切矢量v的长度为 ![]()
，这就是庞加莱圆盘。它是一个双曲空间，一个无穷大的度规空间，就是哈姆雷特口中的那个能让他感到是无穷空间之王的果壳（Hamlet: I could be bounded in a nutshell and count myself a king of infinite space）。庞加莱圆盘是一个无穷双曲平面的反演（几何）模型，自守函数 ![]()
保庞加莱圆盘的结构不变，而且构成群。庞加莱圆盘有许多有趣的几何性质，比如两点之间的直线 (测地线) 是同庞加莱圆盘的边界相正交的圆的一段圆弧（图2），过直线外一点有无数条直线和该直线平行。图2. 同庞加莱圆盘的边界正交的圆的弧是庞加莱圆盘上的直线庞加莱圆盘的研究启发了数学家以及数学家以外的思考几何的人们。受庞加莱圆盘问题的启发，荷兰版画家埃舍尔（M.C. Escher，1898 –1972）1958年一口气创作了四幅名为“圆的极限”的版画作品，为庞加莱圆盘铺排问题的一个绝妙的艺术体现（图3）。![]()
图3. 庞加莱圆盘。中图为埃舍尔版画作品“圆的极限”之三，右图为庞加莱圆盘的6-4-2三角铺排。
3b) 庞加莱猜想。庞加莱这样的数学家，其思考远超自己能解决的问题范围。1900年，研究拓扑的庞加莱提出了如下的猜想：“任意单连通的、闭合的3-流形都与3-球同胚，即从拓扑学的观点看，它们是相同的。”所谓3-球 S3，就是x2+y2+z2+w^2=R2所定义的球。三球具有平凡的基本群（trivial fundamental group），即其上的任意环都可以收缩为一个点。有趣的是，庞加莱猜想的高维推广在原初猜想被证实之前就证实了，而庞加莱猜想本身要到2002、2003年才由俄国数学家佩雷尔曼（Gregori Perelman，1967-）在三篇文章里证明了，2006年才通过同行评议的认可。佩雷尔曼拒绝了因此要授予他的菲尔兹奖以及克雷数学研究所设的大奖，尤其令笔者敬佩。庞加莱猜想位列七个千年数学问题之列，其意义不是笔者能置喙的，有兴趣的读者请参阅专业评论。
庞加莱的数学物理成就
庞加莱是数学家，自然地，针对物理他首先关注天体物理这个作为物理学起源的问题。通过万有引力相互作用的两体问题有严格的解析解，自然人们想把这个问题推广到三体问题甚至n-体问题 (n是个小的自然数)。1887年，瑞典国王奥斯卡二世悬赏征求三体问题的解，最后该奖授予了庞加莱。庞加莱没有解决三体问题，甚至他的论文还包含许多错误，但是，庞加莱的论文开启了天体物理的新时代。庞加莱在论文中首次提出了存在混沌运动的概念。混沌（chaos），指一种对初始条件极度敏感的动力学行为。混动理论如今已经成为了一个重要的数学分支，并渗透到物理、化学、社会学等多门学科。庞加莱对物理学的重大贡献，体现在他是量子力学和相对论非同寻常的奠基人上。4a). 量子力学。庞加莱对量子力学的重要贡献，是他于1912年证明了能量量子化是得到普朗克黑体辐射公式的充分必要条件。庞加莱的这个工作，为自1900年普朗克用能量量子化假设，即一定频率的光其能量为ћν的整数倍，得到黑体辐射后物理学家们理解（摆脱）量子概念的努力划上了句号。实际上，普朗克一直在努力要证明能量量子化是没必要的，如果不是错的，甚至为此得到了零点能等重要概念。直到庞加莱的这个数学证明出来，普朗克才消停了，而不是如一般量子力学文献所述到了爱因斯坦1905年用能量量子化解释了光电效应的实验结果就消停了。庞加莱此一工作在众多的量子力学教科书中未见有提及。笔者再次重申，从理论严谨性的角度来看，庞加莱的这个论证是不可或缺的，否则能量量子化一直就是个让人（普朗克）无法放心的假设。这个证明，是普朗克、爱因斯坦这种数学水平的人不可能完成的任务。从实用的角度来看，它是通往量子统计和固体量子论的桥梁，懂得这个道理后更加容易理解量子统计。爱因斯坦、埃伦费斯特等人在庞加莱此工作的基础上很快发展出了固体量子论。庞加莱在1911年开始思考一个问题，是否不引入量子不连续性也能得到普朗克公式 [Henri Poincaré, Sur la theorie de quanta, J. Phys.2, 5-34(1912)]？他发现结论是否定的。庞加莱分析了振子同原子运动之间的能量分配问题。振子的平均能量和辐射的能量密度关系是基于随机相近似（Random phase approximation）得到的。还是从Boltzmann分布开始，若相空间体积元为dV，则状态在此空间里的概率为e-E/kTdV，这是统计基本原则。换个表达，可以表示为能量间隔里的概率，dW=Ce-E/kTω(E)dE，其中按定义状态密度函数ω(E)=dV/dE，这是能量E所包含的相空间体积V关于能量的导数。庞加莱研究函数 ![]()
的性质。系统的平均能量为 ![]()
；也就是说，平均能量和状态密度函数ω(E)是通过拉普拉斯变换联系起来的。对于经典振子, ω(E)=1，则有![]()
。若振子的平均能量是 ![]()
，则这意味着量子化的能量nε, n=0, 1, 2, 3,…，因为 ![]()
，意味着 ![]()
，展开 ![]()
，以得到相应的状态密度函数 ![]()
。庞加莱的结论是，和 ![]()
形式的平均能量兼容的唯一权重函数就是∞![]()
。普朗克量子化是普朗克分布公式的充分必要条件。没有对统计力学和数学的深厚功底，是得不到这种结果。庞加莱此一工作，表现出了人们感觉迷惑的思维跳跃。其实，在学问融会贯通的他那里，没有思维跳跃。我们感觉到跳跃，是因为我们知道的少（这句化自马赫）。庞加莱对相对论和量子力学的贡献都是奠基性的、一锤定音式的。他对量子化条件作为黑体辐射公式的充分必要条件的一锤定音，其意义不下于强调洛伦兹变换要构成群对狭义相对论的意义！这一点，在物理文献中竟然长期被忽略了。能够率先认识到这一点，笔者为自己感到骄傲。4b). 相对论。庞加莱对经典力学的体系非常清楚。作为一个数学家，他对欧拉的研究方程之变换不变性应该是秒懂的，虽然笔者未见到庞加莱谈论相对性（relativisim）一词的具体文字。庞加莱将相对性原理表述为所有物理现象应遵循的原理。与此可相媲美的是居里（Pierre Curie，1859-1906）把对称性提升为物理研究对象。此外，作为巴黎长度（标准）局的一员，对时钟，尤其是相互间运动的钟表的校准问题，是他长期思考的问题。在1898年的“时间测量”一文中，他指出时间只有约定（convention）的意义。早在1881年庞加莱就研究了让x2+y2-z2=1的不变变换，这实际上是(2,1)-维空间的双曲几何，而狭义相对论，就数学而言，不过是(3,1)-维空间的双曲几何而已。庞加莱对狭义相对论的关键贡献是他认为洛伦兹变换应该构成群，这才最终敲定了洛伦兹变换的形式。洛伦兹变换构成的群，叫洛伦兹群，而包括了平移的更大的时空变换群则称为庞加莱群。相对论的数学与物理，在庞加莱群中。狭义相对论归功于爱因斯坦，是因为爱因斯坦从运动钟表之间的时间同步问题得出了一个微分方程，而该方程的解恰恰就是洛伦兹变换。庞加莱于1912年辞世，广义相对论是1915年底构造出来的，但广义相对论后期津津乐道的引力波概念却是初见于庞加莱1905年的论文（onde gravitique）。加速运动电荷产生电磁波，庞加莱通过类比，提出加速质量也许会辐射引力波。关于这个类比，笔者不敢轻易接受。电荷是极性的存在，正负电荷的世界追求局域电中性，总和为零的电荷分布有电偶极矩，加速的电荷辐射电磁波。质量是非极性的，没有质量偶极矩（dipole）的说法，加速质量是否会辐射引力波，没有理论支持。爱因斯坦后来推导的引力波，是勉强硬凑的，他自己也为此感到不好意思。庞加莱一直教授物理。他的Électricité et optique（电学与光学） 讲义，笔者粗略翻翻，发现里面有很多值得参考的地方。法国人对电学、光学的贡献甚多，其中很多的细节，我指的是学问被创造的细节，应该加入到我们的教科书中去。
思想者、文人庞加莱
庞加莱是思想者。作为一个拥有数学、物理背景的哲学家，他的观点同罗素罗素（Bertrand Russell，1872-1970）和弗雷格（Gottlob Frege，1848-1925）之数学是逻辑的分支的观点恰恰相反。庞加莱相信直觉才是数学的生命，数学不可能从逻辑导出来因为它不是分析的。庞加莱的科学哲学被称为实用偶然主义。我觉得这和庞加莱浓厚的物理背景有关。就物理学而言，公理化是结尾处的努力而不是学问的来源。庞加莱推崇约定（Convention）在物理中所扮演重要的角色，故他被认为是conventionalism的拥趸。他认为牛顿第一定律（伽利略的定律）不是经验的，而是力学的约定的框架假设；物理空间的几何也是约定的。物理场的几何或者如温度梯度（如果是研究这类问题的话）之类的物理量是可以改变的，可以把空间描述成非欧几里得几何的，但也可以将之描述成欧几里得空间不过其度规要随温度的分布而改变。当然啦，人们还是习惯于欧几里得几何的空间。庞加莱留下了诸多散文集，包括《科学与假说》《科学的价值》《科学与方法》《数学与逻辑》《学者与作家》，等等，都是读来脍炙人口的佳作。《科学与方法》是他在法国心理学会的讲座所结成的集子，其中的思想被总结为创造与发明在精神层面包括两个层次：第一是对问题之可能解的随机组合，其二是批判性评价，亦即选择。《科学与假说》是20世纪科学哲学的经典，笔者印象比较深的一句是“Le savant doit ordonner; on fait la science avec des faits comme une maison avec pierres; mais une accumulation de faits n’est plus une science qu’un tas de pierres n’est une maison . (学者要做整理的工作。从事实构建科学如同用石头垒房子，但事实的累积可不是科学，如同一堆石头还不是房子。)” 在《科学的价值》一书里，庞加莱指出数学有三重目的，为了研究自然提供工具（Elles doivent fournir un instrument pour étude de la nature），也即物理的目的；此外还有哲学目的和美学目的。所谓的哲学目的，是说应该协助哲学深化数字、空间、时间的概念。关于数学的物理目的与美学目的，庞加莱认为我们不可牺牲任何一个，这两个目的是不可分的，达成其一的最佳办法是瞄准另一个，至少绝不可让另一个逸出视野 （ces deux buts sont inséparables et le Meilleur moyen d’attendre l’un c’est de viser de l’autre, ou du moins de ne jamais le perdre de vue）。庞加莱说。在《科学的价值》一书中更是有许多广为流传的佳句，如“Les mathémaques méritent d’être cultivées pour ells-mêmes（数学本身就值得耕耘）”；“Aussi l’homme ne peut être heureux par la science, mais aujourd’hui il peut bien moins encore être heureux sans elle (人类不会因为科学而幸福，但在今天没有科学可能就幸福不起来了)”；“Il ne faut donc pas croire que les théories démodées ont été stériles et vaines (不能以为过时的理论从此就是不育的、空洞的)”；“Et puis, pour chercher la vérité, il faut être indépendant, tout à fait independent. ...si nous voulons être forts, it faut que nous soyons unis (为了探求真理，人应当是独立的，彻底地独立。……如果想是强大的，我们就应该是个“一”)”。愿意做科学的年轻朋友们，不妨仔细琢磨一下这最后一句。多余的话
庞加莱一生中花了大量的时间用于把他的结果以及其他的科学知识予以通俗化（Vulgarization de science）。法语的Vulgarization de science可以译为科学的通俗化，或科学的庸俗化，或科学的低俗化，皆可。具体的实践到底会落入什么境界，我觉得这取决于当事人是什么层面的学者。庞加莱的科学通俗化作品在笔者这等半吊子职业科学家看来依然是营养丰富的专业经典。在科学家中间的庞加莱，如同艺术家中的印象派画家。他的著作表达他的思想，但仿佛是在和你讨论，时常句子中会冒出短语 “ce n’est pas tout （这不是全部）”。笔者以为，这句话应该写到我们所有的教科书中，告诉读者们，尤其是学生们，当前表述的根本不是问题的全部，更不是这门学问的全部。庞加莱因为写作极快而被说成是个没耐心的人（C'était un homme impatient qui écrivait vite），他甚至赢得了一本名为《庞加莱：没有耐心的人》的传记，也是没谁了。写得快，难免潦草有错误，萝卜快了不洗泥是庞加莱文章的一个特点，这是他被诟病的地方。然而，这也正是创造头脑的通病——他没有时间去做那些一流甚至一流以下的学者的活儿。帕斯卡的no time to be brief，庞加莱的没时间修改，都是不愿意把时间花在创造以外的事务上。一个沉浸于创造的人，必然是个内心丰富、外观无味的人。不过，科学巨擘的表达有时也可以是很俏皮的，比如论说外语，庞加莱就说，“…parler les langues étrangères, voyez-vous, c’est vouloir marcher lorsqu’on est boiteux（说外语，就好比腿瘸了还想走路）”（见la mécanique nouvelle），看到这句我都笑出声了。人们会好奇，是什么让庞加莱成为那么富有创造力的天才的？答案是，天资聪颖、过目不忘以及对科学问题持久的全力以赴。此外，他还有有能力有意识地忙着一个问题，而潜意识里在忙着另一个问题。庞加莱有能力直击问题的核心，包括问题的缘起与具体的细节。庞加莱读别人的文章，都是直奔结果，然后自己构造论证过程。他访问德国哥廷恩时，那里的学生们都愿意和他讨论问题。如果发现没有新意，他经常性的评论就是“A quoi bon（有啥意思嘛）？”。在笔者心目中，庞加莱是近神的存在，爱因斯坦和他相比也是黯然失色的。庞加莱首先是个职业数学家，对于所有的数学领域，其实还包括当时所有的物理领域，他投身其中，他丰富，他拓展出新的领域。一个人可以在那么广阔的领域里有那么多那么深刻的创造，真的是匪夷所思。笔者从一开始就放弃了对他作全面介绍的企图，力有不逮，这也是没法子的事儿。对庞加莱感兴趣的读者，请自行追加阅读他的著作或者关于其人及成就的专著。作为巨擘型的学者，庞加莱记忆力超群是无疑的，据说他是个永不满足的阅读者，且过目不忘（Poincaré était un lecteur insatiable et qu'il mémorisait facilement ce qu'il lisait）。和欧拉一样，庞加莱一生中长时间受视力问题的困扰。但是，因为内眼识天，视力差一样可以做空间的想象，可以沉浸在几何与拓扑的弯弯绕里（Il ne dessinait pas très bien, mais faisait preuve de beaucoup d'imagination spatiale grâce à une solide vision intérieure, qui lui permettait de se plonger dans les méandres de la géométrie et de la topologie. Poincar´e was an explorer and adventurer, but of the jungles, deserts, and mountains of the spirit. He made fantastic journeys, but all those adventures took place in his mind.）庞加莱的这种心算能力，我指的是不动纸笔就能进行数学的前沿探索，殊为罕见。我个人认为，过目不忘，内眼识天，这种能力是天赋，但我们俗人也不妨专门训练训练一回，那肯定也是有益的。不过，把心算理解为整数加乘这种小孩子玩意儿就不必了。对于职业数学家、物理学家的培养，下盲棋训练庶几可用作入门教程，能盲推庞加莱猜想的证明者可以准予毕业。庞加莱因其超常智力、学问渊博、成就斐然而傲立于科学家的世界。有评论认为作为科学家庞加莱自成一类（Henri Poincaré was in a class by himself）。这样的人，独自一人，源源不断地为人类带来那么多的新知。研究对他来说完全是私人的生活方式。由此观之，所谓的“大抵学问是荒江野老屋中二三素心人商量培养之事”, 一下子就暴露了钱钟书先生所指的学问肯定不是庞加莱所拥有的那种具有普遍意义的学问。即便是素心人，三个人凑一起最恰当的事业也是斗地主而不是做学问。指望拉帮结伙开大会去思考最前沿的科学问题，想想都觉得滑稽。[1] Henri Poincaré，Sur le probléme des trois corps et les équations de la dynamique （论三体问题与动力学方程）, Acta Mathematica 13, 1-270 (1890).
[2] June Barrow-Green, Poincare and the Three Body Problem, AMS (1997).
[3] Eric Temple Bell, Men of Mathematics: The Lives and Achievements of the Great Mathematicians from Zeno to Poincaré, Touchstone (1986).
[4] A.A. Logunov, Henri Poincaré and Relativity Theory, Nauka (2005).
[5] William B. Ewald (ed.), From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, 2 vols. Oxford University Press (1996).
[6] Henri Poincaré, Les mathematiques et la logique （数学与逻辑）, La revue de métaphysique et morale, pp.815-835(1905); pp.17-38, 294-317(1906).
[7] Ferdinand Verhulst，Henri Poincaré: Impatient Genius，Springer (2010).
[8] Jean-Marc Ginoux, Christian Gerini, Henri Poincaré: A Biography Through the Daily Papers, World scientific (2014).
[9] Jeremy J. Gray, Linear Differential Equations and Group Theory from Riemann to Poincaré, Birkhäuser (2000).
[10] Ernest Lebon, Henri Poincaré: Biographie, Bibliographie Analytique des Écrits （庞加莱：档案与著述的分析文献学）, Gauthier-Villars (1912).
[11] Poincaré, Henri, La mesur du temps （时间的测量）, Revue de Métaphysique et de Morale 6，1-13(1898).
[12] Peter Galison, Einstein's Clocks and Poincaré's Maps: Empires of Time，W. W. Norton & Company (2003).
[13] Jean-Paul Auffray, Einstein et Poincaré: Sur les traces de la relativité （爱因斯坦与庞加莱：相对论的足迹）.
[14] Henri Poincaré, Sur la dynamique de l’ electron, Comptes Rendues 140, 1504-1508(1905).
[15] Henri Poincaré, Sur la dynamique de l’ electron, Rend. Circ. Matem. Palermo 21, 129-175(1906).
[16] Henri Poincaré, Les Géométries non-euclidiennes, Revue générale des Sciences pures et appliquées 2, 769-774 (1891).