降维解谜：高温超导新研究或摸到“象鼻子”
以下文章来源于赛先生 ，作者陈卓昱 王耀
赛先生由非营利公益组织北京市海淀区智识前沿科技促进中心主办，中国科学院院士潘建伟任总编辑，定位于中国领先的权威性、专业性科学文化品牌，内容强调系统性、解读性和教育性，旨在传播科学知识，弘扬科学精神，促进科学文化。
高温超导体发现之后，科学家们很快就进一步发现了它们整个家族具有相似晶体结构的铜氧化物都可以在较高的温度超导[2]。这些化合物都具有一个二维的铜氧面，它正是这些材料里超导电流运动的通道，而准二维的铜氧面以外，是给铜氧面提供带电载荷（载流子）的电荷库（见图一）。
很快物理学家就了解到，铜氧面里的电子之间具有很强的相互作用，这与常规的金属合金超导体非常不同（在常规超导体中，电子之间相互作用很弱，基本可以看成是各自相对独立的）。铜氧面从一开始就是绝缘的，跟一般的金属材料也非常不同。这是因为，每个铜原子上正好有一个电子，这些电子由于都具有负电，静电力相互排斥，只能占着自己的位置动弹不得。这就像公路上堵车，车太多都挤住了，谁也动不了。
是电荷库层的帮助使得铜氧面可以导电，甚至超导。这个电荷库可以从铜氧面里夺出来电子，这就像在堵车的公路上去掉一些车，公路就可以畅通了。具体地说，整个固体材料是电中性的，除了电子以外还有带正电荷的金属阳离子（比如铜离子）存在，形成一个正电荷的背景。本来每个位置上都占满了电子，拿出来一个电子，就出现一个带正电的空穴，因为有空位，电子就可以移动了。比如说，一个带负电的电子向右移动，其实等价于一个带正电空穴向左移动。在这种情况下，与其考虑大量的电子，不如把空穴看成一个带正电的粒子，相当于电子的反粒子，这样反而在物理上更直观。
那如何在一个铜氧化物中加入更多的空穴呢？材料物理学家是通过“掺杂”实现的，就是往电荷库里掺进去“杂质”原子，如果这杂质原子具有的电子数量比原来的原子少，它就会从铜氧面里夺出电子来，这样铜氧面里空穴的数量就变多了，就可以导电，甚至在足够低温度下出现超导了。
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要理解高温超导机理，我们可以从哈伯德模型开始。物理学界对强关联哈伯德模型的研究始于高温超导发现之前。像物理里很多分支一样，起初这个模型其实只是理论家们的一个玩具而已。然而，高温超导的发现却把这个模型推到了物理最前沿。P. W. Anderson教授、T. M. Rice教授和张富春教授等为代表的一批物理学家，确立了哈伯德模型在理解高温超导机理的核心位置[4-6]。
我们在初中学习原子的时候，最先学习的就是氢原子模型，因为氢原子只有一个质子和一个电子，最简单，但氢原子模型却基本蕴涵了原子物理相当大部分的内容，可以说了解了氢原子模型，其余的原子物理基本上对这个模型做一些修修补补就行了。而哈伯德（Hubbard）模型，就是强关联电子系统里类似氢原子模型的存在，它非常简单，却解释了相当多强关联电子系统里的复杂现象。而高温超导体就是最具代表性的强关联电子系统，因为其中电子间的相互作用很强，如上节中讲到电子会因为强烈的排斥作用而相互挤得动弹不得。
哈伯德模型里主要的两个参数U和t，物理意义很直观。如果两个电子占据同一个位置，由于静电排斥，系统升高的能量就是U，相当于势能。一个电子想从一个位置跳到相邻的位置，系统下降的能量是t，相当于动能。
哈伯德模型很简单，却可以解释大量的实验现象[7-14]。比如说像上面提到的，由于两个电子叠在同一个位置很费能量（U远大于t），所以当铜氧面里每个位置都占据一个电子的时候，铜氧面是绝缘体，一旦铜氧面掺杂了足够多的空穴，电子可以移动，也就可以导电了。哈伯德模型还成功解释了反铁磁序等一系列更加复杂的强关联量子态，下一节我们会进一步介绍它怎么预言一维反铁磁的。
虽然哈伯德模型在各方面都很成功，而且许多不同的方法已经在近似解或者准一维系统的精确解中发现了超导态的迹象[15-23]。但对于高温超导现象的精确解，还不能给出来。主要问题是，铜氧面是一个准二维系统，面对非常多的强关联电子数量，简单的二维哈伯德模型便无能为力。这和我们熟知的三体问题有点像，牛顿万有引力定律虽简单，但只要有三个天体相互作用，要想得到精确解就非常困难。实际材料体系中，电子数量则是异常恐怖的10的23次方数量级。这个艰巨的任务，人类目前的计算能力仍无法企及。
由于二维哈伯德模型没法得到精确解，跟实验对比的时候，就无法在科学方法论框架内给出确定性的结论：如果理论预测和实验不符，我们没法知道到底是计算过程带来的误差，还是哈伯德模型本身不足以解释现象。
然而，对于一维系统而言，由于维度少了一维，解的复杂度大幅下降，像哈伯德模型等理论模型，有了超级计算机的帮助，在一维有办法得到精确解 [24-26]！如果我们可以找到二维对应的一维材料系统，实验和理论就可以进行精确对比，就能知道理论模型到底对不对了！
因此，研究一维系统成为理解铜氧化物高温超导微观模型的关键。
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很多物理在维度不同的时候，表现就完全变了。哈伯德模型在一维表现出非常奇异的性质，要了解一维强关联电子系统，我们还要了解自旋（spin）的概念以及泡利不相容原理。
电子作为基本粒子，有三个本征的物理性质：质量，电荷，还有自旋。自旋如何理解呢？自旋可以类比为小磁铁，每一个电子本身都可以看成是一个小磁针，小磁针有指向，比如可以向上或者向下，如图二所示。
在量子力学建立过程中，泡利是一位举足轻重的物理学家，泡利不相容原理是量子力学里的一个基本原理，相当于牛顿定律第三定律（作用力和反作用力）在经典力学里的地位。
不相容原理说的是两个电子不能处于完全相同的状态，比如说在哈伯德模型里，如果两个电子要占据同一个位置，他们的自旋就不能相同，必须得相反。
如果一条一维铜氧链上每个位置都有一个电子，相邻的电子之间也会因为离得近，就不喜欢旁边的电子跟自己一样，结果相邻的电子自旋都是相反的，形成一种自旋方向交错的秩序，物理上称为反铁磁序，如图三所示。
神奇的事情来了。如果我们从这个反铁磁电子链中去掉一个电子，比如说用光打出一个电子，如图四所示，当电子链中的电子运动和相互作用的时候（细节见图说），电荷和自旋，作为原本是电子两个基本属性，竟然分别地独立运动起来。
运动的空位只带有电荷的属性，物理学家称它为空子（holon，不叫“空穴”而重新起名字“空子”，是为了强调它只带电荷不带自旋）。相邻自旋同向的态带有自旋的属性，物理学家称它为自旋子（spinon）。一维电子链中的这种自旋电荷分离的现象，已经跟电子在自由空间里的性质截然不同了，这就是集体行为不同于个体行为最突出的表现。
图四
上面讲的都是基于最简单的哈伯德模型的预言，但真实材料毕竟不会像玩具模型那么简单。那这预言到底对不对呢，就要靠实验来验证。前人已经合成了未掺杂的铜氧链母体材料，并且通过一系列的实验证实了一维铜氧链中的自旋电荷分离的现象，侧面印证了铜氧化物材料体系中哈伯德模型的可靠性[32-35]。
但是，前人的实验都是在未掺杂的铜氧链中做的，也就是说每次就用光打出一个空子一个自旋子，虽然看到了自旋电荷分离，却看不到两个电荷载流子（也就是空子）之间的相互作用。我们之前提到，高温超导机理研究的难点重点，就是载流子的配对，载流子之间的相互作用，才是我们关心的核心问题。
其实，实验物理学家为了做出掺杂的铜氧链，已经经过了二十多年的努力[32-35]，直到今天，研究团队才把这个问题解决，实现了最高到40%的非常广范围的可控掺杂和光谱表征，揭开了铜氧化物中两个载流子之间相互作用的神秘面纱。
巧妇难为无米之炊。这个成功的关键是新搭建好的一套尖端设备：氧化物分子束外延和同步辐射角分辨光电子谱仪的联合系统。利用这套设备，刚制备好的薄膜就能保持在超高真空中从制备腔传送到光电子谱仪的测量腔里，进而探测体系内部电子的能量动量结分布，直接得到量子材料最核心的物理性质，避免了一些特殊的物相在空气中无法稳定存在的问题。这套顶尖联合系统位于SLAC国家实验室，就在斯坦福大学的旁边。
现在这套尖端设备正是研究准一维的铜氧链材料体系的利器。这种材料的低维几何结构导致其十分不稳定，对于块体材料而言，只有无掺杂的母体可以较为稳定存在。所以之前关于掺杂下一维铜氧链的研究都停留在理论层面[24-26]。但在这种超真空环境中的薄膜就不一样了，用臭氧烘烤这种含有一维的铜氧链的薄膜，可以改变铜氧链中载流子的密度，并可以同时进行光谱测量。根据这个思路，研究团队对该材料进行了系统性的测量，以期得到与准二维铜氧化物超导体对应的一维体系掺杂的信息[3]。
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这个近邻吸引力的强度非常强。根据哈伯德模型本身的自旋电荷分离的数学形式，我们其实可以推导出一个空子之间的有效吸引力。但是实验中发现的这个吸引力是哈伯德模型本身包涵的近邻吸引力强度的十倍！不仅如此，这个实验上还系统地测量了不同掺杂程度的铜氧链，同样强度的近邻强吸引力的理论预测和所有实验谱线符合得非常好！
这就说明，在真实的铜氧化物里，有一个超强的近邻吸引力，而这个吸引力的来源是在哈伯德模型之外的。由于准一维铜氧链和准二维铜氧面结构非常相似，一维得到的量子微观理论模型在一定修正后可以推广到二维用。论文中的这个“哈伯德+近邻吸引力”的模型，是建立在哈伯德模型本身巨大成功的基础上，再加上新发现的超强近邻吸引力存在证据，有助于高温超导电子配对，我们认为这有可能就是描述高温超导体的完整理论模型！
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那么这种电子和电子（或空穴和空穴）之间的吸引力的来源是什么呢？同样带正电荷的空穴之间，本是不应该存在一个相互吸引的静电力的。
固体物理中，我们把阳离子的微弱振动数学化描述为一种准粒子：没有任何振动的时候表示没有产生这种准粒子，振幅增大意味着这种粒子数量增多。这种准粒子被称为声子。当我们考虑到声子（晶格振动）跟电子之间的这种吸引力的时候，我们就会发现，声子可以作为一种媒介，产生电子之间吸引力！
设想一下，你在一个平板上扔玻璃球，由于球与球之间的碰撞，这些玻璃球会分散开散落各地，这就类似于纯电子系统的情况。但是如果我们在柔软的床垫上扔玻璃球，你会发现这些球会聚集在一起。这是因为，一个球把床垫压出一个坑的时候，第二个球就会倾向于掉到坑里降低势能。如果我们只关心球的位置而无视床垫这个背景，看起来就像这些玻璃球互相之间有了吸引力。
类似的，固体中阳离子组成的晶格的振动也会像床垫一样诱导一种电子之间的吸引力。这种晶格振动和电子之间的相互作用，我们称为电声子耦合，这实际上正是常规金属超导的机理！巴丁、库珀、施里弗三人因创建这个理论（以他们名字命名为“BCS理论”）而获得了1972年的诺贝尔物理学奖[39]。
利用这个声子为媒介的吸引机制，我们能否解释铜氧链中发现的这个近邻吸引力呢？理论上可以证明，当声子（也就是晶格振动）的频率很大的时候，这种相互作用只存在于同一个晶胞的不同电子之间（所谓晶胞就是晶格的一个单元，晶胞周期性排起来就是晶格了）；但是当频率逐渐减小的时候，这种相互作用就可以延伸到更远的距离。
同样拿玻璃球和床垫打比方：想象玻璃球都在床垫上不断运动，如果床垫的恢复速度很快，那么一个玻璃球滚过去之后，床垫的形变立刻就恢复了，从远处的运动过来的玻璃球就无法感受到前者遗留下来的凹坑；只有当床垫的恢复速度远小于玻璃球的运动速度的时候，这种凹坑势能才得以传递到其它距离更远的玻璃球。根据这个原理，我们定量地分析了已知的电声子耦合强度和可能产生的近邻吸引相互作用。很遗憾，这个数值远小于我们需要的吸引力的强度。
是理论模型的出了问题，还是有更复杂的自由度在作祟？这个问题困扰了物理学家很长时间。再重新梳理整个逻辑框架，我们或许被常规超导BCS理论的思路给影响了。一般认为电声子的耦合一定是在距离最近时最强，而随距离迅速衰减，因此一般来说只考虑同一个晶胞位置上的耦合而忽略其他更远的情况，以此估算出来的常规超导材料的物性也是基本吻合实验结果的。
但是对于铜氧化物而言，由于哈伯德模型已经揭示了在同一个晶胞位置上有极强的排斥，其实更应该去关心的，是近邻两个晶胞位置之间的电子相互作用。那自然而然，这种近邻晶胞相互作用的主要贡献不应该来自于晶胞内的电声子耦合，而是晶胞间的电声子耦合。根据这个思路，辅以最新研发的非高斯态精确对角化方法[40]，研究团队分析了长程电声子耦合对于这个有效吸引力的影响。果不其然，其贡献远大于前面提到的仅考虑晶胞内电声子耦合的估算。而且得到这个有效吸引力的强度跟实验结果非常契合[41]。
当然以上对于这个近邻吸引力来源的讨论目前只是理论层面的解释和预测。更严格的结论仍然需要在不同的铜氧化物（尤其是高温超导的材料中）做进一步的实验分析。值得强调的是，如果上述机制最终被证明是正确的，电声子耦合成为解决高温超导问题的最后一步，但其作用机制跟传统的BCS超导完全不同，产生的表观现象也大相径庭。
在高温超导材料中，电子之间的强关联效应仍然是最显著的现象。因此，是电子强关联和电声子耦合的相互协作和竞争造就了这种奇异的物理现象。由于这两种相互作用在材料中广泛存在，其背后可能蕴含了更丰富的物理和更有有价值的应用。近年来蓬勃发展的理论模型、数值技术，和不断提升的实验手段和表征精度，都有望迅速推进这个方向的研究。
对于高温超导配对这个在当今时代最深刻的量子力学问题，我们其实是到达了的一个更深入的理解：电子-电子相互作用和电子-声子相互作用共同合作，创造出强关联电子体系中这些美妙的物理现象。当然，要完成这个故事，可能还需要进一步的更多直接实验证据以及理论计算方面的努力，但我们也许已经快要抵达结局了。在这个看似简单的故事背后，其实包含了大量科学界的实验技术和理论计算数值方法的创新。科学的发现很多时候并不依赖于灵光一现的想法，更多的是仪器、材料、算法、模型一次次的改进和迭代。
高温超导机理是一个已经不再年轻的课题。在两到三代人持续不断的对其发起冲锋的过程中，对于最终机理的探索固然是重中之重，但这个过程中催生的技术革新也是不可忽视的。
比如实验方面，以角分辨光电子谱仪（ARPES）为代表的多种表征技术在高温超导研究中得到长足发展，后来在拓扑材料的研究中大放异彩[46]；理论方面，以密度矩阵重整化群为代表的计算物理方法将物理理论与现代科学计算技术紧密结合起来，极大得加深了我们对于量子纠缠等前沿问题的认知。当然其它实验、理论、数值方面的些微改进甚至失败的尝试，都在将我们那些灵光一现的想法固化为千锤百炼的知识。
理解高温超导体的机理，除了在科学上有重大意义，还希望基于这些科学理解，在理论上设计出具有更高转变温度的高温超导体，并最终在实验上得以实现。如果在室温（即300K， 相当于27℃）和常压（即一个标准大气压）的材料就能超导，导电都可以无电阻了，整个基于电气工业的人类社会将发生巨变。
那基于现在对高温超导机理的理解，能否设计出更高温度的高温超导体呢？答案是：我们已经在路上了！
我们已经认识到，哈伯德模型提供了一个基本电子系统的平台，而高温超导配对的关键可能来源于声子带来的超强近邻吸引力。这样，如果希望得到更强的近邻吸引力，我们就需要进一步优化声子模式以及电子声子耦合强度。
一个可能的方案，是把二维铜氧面，和一个具备更优声子频率的电荷库通过异质结的方式结合起来，这个在原理上应该能进一步提高超导转变温度。在具体的实现上，对于铜氧化物高温超导体，材料工程方面还有很多工作要做，但是对于另外一类高温超导体——铁基超导体而言，却已经有了一些让人欣喜的尝试[47-49]。
即便基于已有的铜基高温超导材料，高温超导的产业应用也已经慢慢步入佳境，在战略科技（如高温超导可控核聚变和新一代高能粒子加速器）、交通（如高温超导磁悬浮列车和轮船电动机）、医疗（如超高分辨核磁共振成像和量子干涉心脑磁图）、电力（如高温超导储能装置、电缆、故障限流器、变压器、发电机）、通讯（如高温超导微波滤波器、振荡器、单光子探测器和太赫兹探测仪）等等领域具备广阔的发展前景。
总之，高温超导的研究，从1987年到如今已经过去34年，虽然仍有很多未解之谜，但人类对其认识已是越来越深入，因此也一步一步地对量子多体物理、量子材料、量子化学等等重要的学科有了更广泛的发展。高温超导机理仍是凝聚态物理皇冠上的明珠，但人类把它真正摘下的时刻应该不太远了。
参考文献：
赛先生
启蒙·探索·创造
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