以下文章来源于数理人文 ,作者丘成桐
夫筹学之道,求根创新。学之大者,受诸天地,推理寻真,必若古之辞赋大家,赋比并用,若虚若实,外则参乎物象数理之阴阳表里,内则究物我天赋流通之大气!有规有矩,无界无疆。此理学人文之根基也。学之上流,辞兼理文,雅洁瑰丽,直可以动天地而感鬼神。
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本文是丘成桐院士为“陈省身先生 110 周年纪念会”(时间:2021 年 10 月 10—14 日,地点:清华大学,线上直播 Zoom ID: 228 011 0844 (Passcode: Chern110)
凯勒观察到凯勒—爱因斯坦度量必须满足某个复蒙日—安培方程,并举出了不少例子。他同时证明了凯勒几何中的里奇形式是闭形式,从而给出了德拉姆上同调类,而这个上同调类和凯勒度量的选取无关。这就是凯勒流形中的第一陈形式。先生当时正在上凯勒的课,他受到此论文的影响是不言而喻的。
在他生命的最后三十年中,先生常对学生说,他非常希望教懂他们威力强大的嘉当活动标架法。
先生很可能是在 1934 年从凯勒在汉堡的研讨班上学懂了嘉当—凯勒理论,研讨班上能坚持到最后的只有先生一人而已。
毫无疑问,嘉当是本世纪最伟大的数学家之一,他天才横溢,但为人谦厚,一生平和。 1940 年,我刻苦研读嘉当的文章,终于领悟到联络的概念将会发挥关键的作用,并由此完成了几篇论文,讨论如何对给定的几何结构配上联络。
嘉当毫无置疑是在世的最伟大的微分几何学家,但我也不得不承认他的著作,跟他大部分论文一样,皆晦涩难读。
确定何时两个度量可以差一个坐标变换。
找到子流形在射影变换群下的一族完全的局部不变量,并且透过和简单几何图形的密切性质来给出几何上的解释。
基于外尔和其他一些人的工作,我们依赖于"管子"的证明虽然的确要用到(当时还不明了)球丛的构造,也就是一个给定浸入的横截丛,但不是内蕴的。 陈省身的证明第一次清楚地引入了内蕴丛,也就是单位长度的切向量丛上的运算,让整个领域的面貌焕然一新。
希策布鲁赫:“在高等研究所的两年(1952-1954)对我的数学生涯影响甚大。我研读和发展了陈类的基本性质,又引入了陈特征。后来。陈特征在我和阿提亚(Michael Atiyah, 1929-2019)的合作中,成为从 -理论到有理上同调的一个函子。”
1978 年,施瓦茨(Albert Schwarz, 1934-)引入了包含陈-西蒙斯理论的拓扑量子场论。他的论文题为《退化二次泛函的分割函数和雷–辛格不变量》(The partition function of degenerate quadratic functional and Ray-Singer invariants, 1978)。
1981 年,捷奇夫(Roman Jackiw, 1939-)和他的学生坦普尔顿(Stephen Templeton)研究了带陈-西蒙斯项的三维 QED;1982 年,又研究了非交换规范场论和三维爱因斯坦引力。
1981年,劳克林(Laughlin, 1950-)发表了二维的量子化霍尔传导性的论文;1983 年发表了分数次量子霍尔效应的论文,其中的低能量可以用陈—西蒙斯项来描述。随后的工作者有韦尔切克(Frank Wilczek, 1951-)、徐一鸿(Anthony Zee, 1945-)、泊里雅科夫(Alexander Markovich Polyakov, 1945-)等。
威腾(Witten, 1951-)把三维的陈--西蒙斯发展成和琼斯多项式有关的量子理论。威腾的文章掀起了对扭结理论的一番探索,包括所谓的三维双曲流形的体积猜想。陈--西蒙斯理论及其在凝聚态物理上的推广内容庞大,难以在此综述。
文小刚(Xiaogang Wen, 1961-)(1990 年也在高等研究院完成)引入了凝聚态物理学家称为拓扑序(topological order)的概念,来作为 TQFT 和陈—西蒙斯理论在高维量子物质中的实现。
丘成桐,北京雁栖湖应用数学研究院院长,哈佛大学教授,清华大学教授,美国科学院院士,中国科学院外籍院士;菲尔兹奖、克拉福德奖、沃尔夫奖、马塞尔·格罗斯曼奖得主。
本文经授权转载自微信公众号“数理人文”,原标题为《陈省身 —— 二十世纪伟大的几何大师》。
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