CICC科普栏目｜那些让学术名流刻骨铭心的数学题

中国指挥与控制学会

The solution of problems is the most characteristic and peculiar sort of voluntary thinking.
——威廉·詹姆斯（William James，美国心理学家，1842-1910）

瑛姑

金庸（1924年3月10日-2018年10月30日）

瑛姑是金庸先生《射雕英雄传》中的“神算子”。在小说中，瑛姑与黄蓉是用几道数学题过招的。黄蓉（请注意，她老爹是东邪黄药师，擅长“奇门数术”）临走时给瑛姑出的三道难题如下：

第一道是包括日、月、水、火、木、金、土、罗、计都的“七曜九执天竺笔算”；

第二道是“立方招兵支银给米题”；

第三道是“鬼谷算题”："今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？"

其中第三道题最有名，涉及数论中著名的中国剩余定理，我们曾在好几篇文章中介绍过，参见

◐ 一周一定理No.1 中国剩余定理

◐ 从《射雕英雄传》到《九章算术注》

◐ 算命是胡扯，猜姓却不然

第二道题涉及高阶等差数列的求和，我也在给中学生和大学生的通俗报告中提到过，见

◐ 从《射雕英雄传》到《四元玉鉴》

◐ 微积分之前奏1：高阶等差数列的求和

至于第一题，恕我无知，至今仍不清楚金庸先生具体指的是哪个问题。毫无疑问的是，黄蓉出的第二题与第三题分别代表了我国古代数学的两项杰出成就，由此可以揣测，第一题也当如此。照西北大学数学史家曲安京教授的看法，中国古代数学有三部集大成的代表作，《九章算术》（西汉）、《数书九章》（南宋）与《四元玉鉴》（元代）。黄蓉出的第二题与第三题之详细讨论，就分别见于后两部著作。

相信读者已经看出，鄙人确实是金庸的忠实粉丝。实际上，我几年前就有想法要给金庸先生写封信，问询他老人家何以会想到在《射雕英雄传》中塑造这样一个“神算子”形象，并借黄蓉之口道出中国古代数学的这些杰出成就，他又是何以了解到中国古代数学这些杰出成就的。后来我将这一想法转告了香港中文大学的陈方正教授，他告诉我，金庸先生身体不好，建议我不要打扰，我就作罢了。

最近我从网上读到一篇文章，对我的问题给出了一个指引，其中有这样一段：

金庸年轻时在《大公报》上写过一篇随笔《圆周率的推算》（后来收进《三剑楼随笔》，全文见本号二条），里面提到一本《算学的故事》：“我在初中读书时，教我数学的是章克标先生*，他因写小说出名，为人很是滑稽，同学们经常和他玩闹而不大听他讲书。他曾写过一部《算学的故事》，其中说到有一个欧洲青年花了极长的时间，把圆周率推算到小数点后六百多位。这个圆周率，当然是毫无实用价值的。”

*注：章克标（1900-2007）是东京高等师范学校数学系的学生，回国后任教于中学与大学，先教数学，转向文学后，又教过语文。有兴趣的读者，可见其自传《世纪挥手》，书名乃金庸手书。

今天我要写的这个题目，一方面是受到黄蓉提问的启发，另一方面也是受到金庸《天龙八部》里的一段情节（第46节，酒后君问三语，西夏公主提问招亲）的启发，有兴趣的读者可见下述视频，我不再展开（我觉得这本质上是一个对偶的话题：你所提出的最好的问题是什么？）：

西夏公主（毋宁说是金庸前辈）提出三个简单的问题：

你一生中最逍遥快活的地方在哪里？

你生平最心爱的人是谁？

你最爱的这个人相貌如何？

让天下群雄尽显各自本色（最令人唏嘘的是乔峰的回答，不过在原著中，乔峰是先行离开从而回避了这些问题）。好了，我们就此打住。现在我们来看几位著名人物所分享的刻骨铭心的数学题吧！

杨振宁（1922-）

杨振宁

在华东师范大学数学系张奠宙教授对杨振宁先生的访谈（参见《杨振宁和当代数学》）中，杨振宁先生提到了他在西南联大时，陈省身先生给他们出的一个题目：

在西南联大，我很可能旁听过陈省身的好几门数学课，但是根据保存至今的成绩单，我只是在1940年秋季学期正式选修过他讲授的微分几何课程。当时我是物理系的三年级学生。

张：这门课您有所得益吧?

杨：当然。不过我已经记不清楚上课的情形了，只有一件事印象很深：如何证明每一个二维曲面保角等价于平面？我知道如何把度量张量化成

的形式，但是想了很久都想不出怎样使A=B。有一天，陈先生告诉我要用复变量，并写下：

这个式子。学到这简单的妙诀，是我毕生难忘的经历。

最近我从西北大学数学系刘建新博士的博士论文中得知，原来这结果和技巧都归功于高斯（Gauss）。杨振宁这段回顾的重点是，陈省身令他认识到复数的重要性。陈省身先生常说的一句话是，复数使数学简单化（一个最显著的例子是代数基本定理：多项式在复数域内必有零点）。我想法国数学家阿达玛 (Hadamard) 的一句名言很能够表达这个意思：

徐利治（1920-2019）

徐利治

在我读过的所有中国数学家的传记与访谈录中，我最喜欢的是关于徐利治的一本：《徐利治访谈录》（袁向东、郭金海访谈整理，湖南教育出版社，2009年）。徐利治在书中谈到了许多有趣的东西，如他眼中的华罗庚、陈省身与许宝騄等（参见徐利治先生访谈录：我所知道的华罗庚与陈省身）。他在书中分享了在西南联大求学时请教陈省身的一道题目（见上书73-74页）：

我在西南联大二年级的时候，有一次到数学系办公室请教陈先生一个级数求和问题。这个问题是：

如何计算？

陈先生看了很久，没有回答出来。后来我才知道，这个求和问题没有精确的公式表达，但可以用欧拉-麦克劳林求和公式（Euler–Maclaurin formula）做近似计算。可见，当时陈先生的分析基础也不是十分强。

这里徐利治先生分享了他的后见之明：这个和是求不出来的——其结果没有一个简单的公式表达。那么能做的，只是近似求和，即，求出这个和的一个近似值。换言之，我们所能解决的，是下述问题（请注意，这里改变了问题的提法，唯有如此，方才可解）：

问题0：求

的近似值。

徐利治想到的方法是用欧拉-麦克劳林求和。照理说，这个方法如此基本，陈省身不大可能不知道。所以，更有可能的是，陈省身装作不知，让徐利治自己去钻研。

上面将问题重新表述的变通策略，正好印证了挪威数学家阿贝尔（Abel）的高见：

人们应该力求给问题一种形式，使得它总是可解的，这总是可能的。以恰当选择的形式提出问题，其叙述本身就会包含着解答的种子。

阿贝尔

何兆武（1921-）

何兆武

我还想到西南联大的另一位杰出校友，他叫何兆武，著名的历史学家。在其自传《上学记》（何兆武口述，文靖执笔）一书（90-91页）中，他曾回忆起他参加1939年西南联大高考时所遇到的一道数学题：

那一年数学考题非常之难，也不知道是谁出的，比我们中学所学的更深。其中有一个题目我还记得，在椭圆上任取一个点，问：把这个点到椭圆上每个点连线的中点连接起来，是什么图形，并列出方程。

我知道连起来是一个内切小椭圆，给描出来了，可是列不出公式。有个同学数学学得非常好，考完了以后跟我讲，这道题不能用正坐标（即直角坐标）表述，得用极坐标。经他一说，我就想起来了，所以印象特别深。另外，这件事也给了我极大的启发，一个终生受益的启发：当我们的思想解释不通的时候，就得换一个坐标，不能死硬地按原来的模式去套。

我想，历史中真正学术上、思想上的重大突破，大概都需要坐标的转换。有些用原来的坐标解释不了了，却仍在那里生搬硬套，是行不通的。