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传染病如何传播?如何阻碍它的传播?

科界 02月11日

来源:中学生英才计划

作者:Patrick Honner

翻译:Nothing

审校:Nuor

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假设你听到了一个有趣的谣言,你会忍不住把它告诉别人。但是由于你讨厌造谣者,所以你只会告诉一个人,然后闭嘴。这没什么大不了的,对吧?毕竟,如果你告诉的人采取同样的策略:只告诉另一个人然后闭嘴,流言蜚语就不会传播太远。如果每天都有一个新人听到这个谣言,30天后,包括你在内谣言也只会传播给31个人。

 

如果每个人告诉两个人会是什么情形?结果很糟糕。如果每个当天听到谣言的人第二天都会告诉两个新的人,那么30天后,谣言受众将达到世界人口的四分之一以上(确切地说,为2,147,483,647人)。这么一个看似微不足道的改变——告诉两个人而不是一个人——怎么会引起这么大的不同呢?答案在于变化的速度。

 

在第一种情况下,谣言每天都会传递给同样数量的人。今天、明天、后天等等都是这样,这意味着每天听到谣言的新人数量是恒定的。在我们的例子中,这个数字是1。

 

但如果谣言每天新传播到的人数是昨天的两倍,那么新的谣言接收者的数量就会呈现出指数式增长:第一天有两个新的人听到谣言,第二天就有四个新的人听到谣言,第三天就有八个新的人听到谣言,以此类推。在第30天,将有高达 2^30 名新人听到这一谣言。 


为什么场景一和场景二之间有巨大的差异?这都与线性和指数函数有关。线性函数的特点是变化率恒定,就像每天有一个新人听到谣言一样。线性增长是缓慢而稳定的,每次增长的数量都一样。另一方面,指数函数的特点是变化率急剧增加:两个新的人听到谣言,然后四个新的人,然后八,然后十六,等等。与线性增长不同,对于指数增长,它的速度也在加速——增长量本身也在持续增加。

 

这是30天后听到谣言人数为31人和听到谣言的人数为20亿人之间的区别。而这一差别仅仅来自于每个听到谣言的人把谣言传播给一个人还是两个人。


20200211203422_e4e7ae.jpg图中显示了每天知晓该谣言的人数。绿色(告诉一个人的)的线性函数几乎是水平的,而蓝色(两个人的)的指数函数则垂直超过了20亿。

 

这个基本的数学模型揭示了一种特殊增长类型的本质,这种增长对谣言的影响远远大于谣言的传播。和所有的基本模型一样,它忽略或简化了许多复杂的因素,例如传播的可能性和总人口的规模,但它是一个很好的出发点,我们可以从这个点开始探索思想是如何传播的,人口是如何增长的,以及疾病是如何传播的。

 

传染病的传播方式与谣言的传播方式几乎相同:有人感染它并把它传给其他人。当然,两者也是有区别的,但是基本数学模型在这两种情况下都是适用的。在我们涉及谣言的简单例子中,我们看到了谣言传播率微小的差异如何在最终听到谣言的人数中产生巨大的差异。在传染病方面也是如此:把传染病传染给一个人和传染给两个人之间的差别,可能是个别人得病和大瘟疫之间的差别。

 

每种传染病在一个区域的传播速度取决于一组独特的生物、环境和社会因素。流行病学家试图总结所有这些因素在感染的“基本传染数”中的影响,基本传染数是每个感染者预期会产生的新感染者的平均数,用R0表示。在我们上面的谣言例子中,基本传染数是R0=1(每个人把谣言传播给另外一个人)和R0=2(每个人把谣言传播给另外两个人);“传染期”是一天。


下面是一些著名传染病的基本传染数:


疾病

R0

麻疹

12-18

天花

5-7

流行性腮腺炎

4-7

流行性感冒(1918年流感病毒株)

2-3

 

注意,这些疾病的感染数都大于一。这在一定程度上是造成这些疾病如此危险的原因:由于每个感染者平均会感染超过一个人,因此感染这种疾病的人数将呈指数增长。这可能会对人口造成毁灭性的影响。但是我们能把一种疾病的有效传染数 降低到 1 吗?


*【注】在这里区别两个概念: 基本传染数 R0  和 有效传染数 R 。基本传染数是每个感染者预期会产生的新感染者的平均数,有效传染数是在基本传染数的基础上,考虑到防疫措施之后产生新感染者平均数的结果。在实际防疫过程之中,疫情是否可以得到控制,取决于有效传染数是否可以持续小于 1。在这里为了更好了解降低传染病的方式,放在一起进行说明。


如果我们进一步了解哪些因素导致感染的 ,我们就可以开始开发干预措施来阻断传播。传染病在大城市地区爆发的频率更高,因为居住在拥挤城市的个人有更多的机会传播感染:他们只是接触更多的人,遇到缺乏免疫力的人的可能性更高。


为了在流行病期间打破这一传播链,卫生当局可以采取隔离(使受感染者远离他人)甚至自我隔离(使接触过感染者但自己尚未患病的个人远离他人)等干预措施。


其他影响 的因素包括宿主和微生物。当感染者与易感者接触时,微生物传播的可能性有多大?通常,宿主可以通过他们的行为降低传播的可能性:通过在咳嗽或打喷嚏时掩住口鼻来遏制通过飞沫等传播的疾病,通过频繁洗手遏制通过接触传播的疾病。



我们还可以通过医疗手段降低 ,这就是疫苗发挥作用的地方。当接种疫苗时,个体会对疾病产生抵抗力:疫苗抵抗疾病成功率各不相同,但为了简单起见,我们假设接种疫苗能提供对疾病的完全免疫。接种疫苗直接有利于接种了疫苗的个人,但也间接有利于更广泛的人口。如果一个社区的许多人接种了疫苗预防某种疾病,这种疾病就不会传播得那么快。


实际上,广泛接种疫苗有助于减少疾病的有效传染数。如果有足够的人接种疫苗,有效传染数实际上可以减少到一,确保疾病只会以线性速度传播。那么,有多少人需要接种疫苗才能使一种疾病的有效传染数(只考虑到接种疫苗的情况下)降到 1 ?

 

让我们想想有效传染数到底告诉了我们什么。考虑R0=2的流感流行。这意味着一个感染者平均会感染两个新人。这个数字R0=2为我们提供了很多信息:疾病传播的难易程度、感染期的长短以及在给定时间段内与被传染者接触的平均人数。通过解析这个数字,我们可以很容易地看到疫苗是如何降低R的。

 

假设一个感染了R0=2的流感病毒的人在感染时会遇到另外10个人。我们可以把它描绘成一个图表,中间是绿色的感染者,箭头指向每一个遇到的人。

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每个接触过的人都有机会感染流感,R0=2意味着,平均来说,这10个人中有2个人会感染流感。

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一般来说,我们可以说每个人都有 2/10 的概率感染,即20%的机会感染这种疾病。

 

但假设这10个人中有两个接种了流感疫苗。假设疫苗能完全抵抗这种病毒,这意味着感染不能传染给他们。但剩下的8个人中,每一个人仍有20%的机会被感染。这意味着,10个人中平均有0.2×8,即1.6人会被感染。

 

因此,如果每10人中有2人接种了疫苗,那么平均每一个患者只能感染这十人中的1.6人。该疫苗有效地将该病的有效传染数从R=2减少到R=1.6。那么,我们如何将有效传染数降到1,以避免指数增长呢?

 

再一次,我们假设我们最初的感染者在感染期内接触到10个人,并且每个未接种疫苗的人有20%的机会被感染。现在,假设这10个人中有V个人接种了疫苗。我们预计,平均而言,10-V未接种疫苗的个人中有20%将受到感染。为了使增长呈线性而不是指数增长,我们需要新感染的平均数为1。因此,我们需要解方程:0.2×(10-V)=1。

 

运算表明V=5是方程的解。所以让我们看看当10个接触的人中有5个接种了疫苗时会发生什么;我们将在下面的图表中将他们涂成蓝色。

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疫苗把这五个人从图中去掉,因为疾病不能传染给他们。             


现在剩下的五个人中的每一个人仍然有20%的机会被感染,所以平均来说他们中的一个人会感染这种疾病。这意味着在最初接触的10人中,只有一人感染:因此,通过每10人接种5人疫苗,我们有效地将这种疾病的R降低到1。

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这个过程可以推广到任何有效感染数R如果我们假设每个感染者在每个感染期接触N个新的人,那么我们可以平均预期这些人中的R0/N会被感染。但如果V是接触的N个接种者的数量,那么

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 代表新增感染数,我们想让其等于1,因此有

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解决 V/N 得多少的问题是有意义的,因为 V/N 代表人口中接种疫苗的个人的总百分比,每N个人中就有 V 接种疫苗。计算可得:

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这意味着,如果接种疫苗的人在普通人群中的比例为1-1/R0,那么,平均而言,每个感染者只会感染一个新的人。因此,1-1/R0是导致疾病线性而非指数增长的百分比。

 

在这一接种比例上,即接种疫苗的人在普通人群中的比例为1-1/R0一个群体对一种疾病实现了一种集体免疫:不是对被感染的个人的免疫,而是对疾病以指数速度在人群中传播的免疫。这一特性被称为“群体免疫”。群体中实现群体免疫所需的疫苗接种百分比被称为“群体免疫阈值”(HIT)。以下是一些针对各种疾病的HIT。


疾病

R0

1-1/R0

HIT

麻疹

12

1-1/12

91.7%

天花

1-1/5

80%

流行性腮腺炎

1-1/4

75%

流行性感冒(1918年流感病毒株)

1-1/2

50%

 

显然,接种疫苗预防疾病不仅对接种疫苗的个人,而且对社区都有潜在的好处。当达到群体免疫的阈值时,疾病在人群中传播的速度保持在足够低的水平,这样可以避免潜在的灾难。广泛的疫苗接种将一个类似于左边的模式,其中有许多疾病在人群中传播的潜在途径,变成更类似于右边的模式,较少的途径会导致增长放缓,并减少爆发流行病的机会。

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群体免疫的一个重要特点是,它同样有利于群体中未接种疫苗的个体。由于这种疾病不太可能广泛传播,每个人的风险都较低,包括那些未接种疫苗的人。这对于那些婴儿、老人和体弱的人尤为重要。虽然我们假设接种疫苗是100%有效的,但即使没有,群体免疫的好处也可以实现:即使接种效果不到100%,广泛接种仍然会减少每个感染者新感染的平均数量,从而降低疾病的有效传染数。     

       

我们已经看到线性增长和指数增长之间的巨大差异。当涉及到疾病传播时,它实际上是一个生死攸关的问题。人群隔离,疫苗接种和群体免疫很重要,所以快告诉你的朋友,当然,最好告诉两个。


本文转载自微信公众号“中科院物理所”

原文链接:https://www.quantamagazine.org/flu-vaccines-and-the-math-of-herd-immunity-20180205/


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