力学的几何化

前言

从 19 世纪开始，力学和物理中使用的几何学的语言越来越多，或者说力学和物理规律用几何语言来表述。这种趋势被称为物理的几何化。

力学是整个自然科学最早精确化的学科。力学是研究物质在空间运动的学科，所以力学尤其是和几何学有着不可分割的联系。也可以说，力学是几何化最早最深入的学科，它是随着历史发展逐步深入的。可以把从阿基米德开始的有限自由度力学与数学的关系的特点归纳如下^[1]：

从阿基米德到哥白尼、斯梯芬时代，力学的研究内容主要是静力学和天体的圆运动。在几何方面的主要工具是欧氏几何, 相应的计算工具是常量的代数运算。

从伽利略、惠更斯到牛顿、莱布尼兹的时代，力学研究的主要内容是自由质点的运动，特别是在引力作用下的自由质点的运动。在几何方面的主要工具是解析几何，特别是有关圆锥曲线的解析几何。在计算方面的主要工具则是引进了变量，发明了微积分，而且微积分的发明人牛顿与莱布尼兹自己也是著名的力学家，是那个时期的力学学科的开拓者。

从拉格朗日到哈密尔顿和雅科比时代，力学的主要研究内容是约束运动。在几何方面引进了  维空间的概念，后来经过黎曼的严格化，成为流形或黎曼几何。而在分析方面引进了泛函的概念，并且发展了求泛函极值的方法，也就是变分法。拉格朗日自己就是早期开拓变分法的主将。

在 19 世纪末，力学又进入了一个重要的新阶段，这就是以庞加莱与李亚普诺夫为代表的动力系统的定性理论时代。定性理论与运动稳定性的研究本来是从天体力学中提出来的一个理论课题，之后发现在一切力学系统中，甚至在由一切非线性常微分方程决定的系统中都有普遍理论与应用意义。简单说，定性理论研究系统解的性质随参数变化的方向，例如有没有周期解的变化、有没有极限环的变化、解稳定与不稳定的变化等等。

相应的几何方面的主要工具就是拓扑学和微分拓扑学，而相应的计算工具是同伦与外微分等。力学中的定性理论的开拓者庞加莱本人也是拓扑学的奠基人之一。经过了 100 多年的发展，它现在仍然是学者都很关心的研究领域。

事实上，力学与物理的每一次认识的进步，都伴随着人们对于空间的认识的飞跃和拓广, 于是人们很自然地把所研究的物理对象的一个系统的状态看作一种空间中的一个点, 一种变化过程可以看作点在空间运动的轨迹。因之，力学与物理便逐渐变为一种扩张了的几何。

由于现代物理，如量子力学、相对论和场论的几何化的问题，已经有许多专著介绍, 本文仅限于对经典力学的几何化的几个重要方面进行讨论，作为一个入门的导引, 大致涉及对偶、动力学几何、变换与守恒。

1 力学中的对偶

对偶空间概念的引进，实际上是紧密联系于物理量的描述的, 在力学中就有不少对偶空间。如三维空间中的质点位移组成一个三维向量空间 ，若给定其基底 3 个不共面的向量 ，则任一位移均可由  来表示，这里  为位移在这组基底上的坐标。有了位移空间 ，我们可以引进其对偶空间。这个对偶空间实际上描述了空间力向量组成的空间。众所周知，力在位移上做功是一个标量，给定一个力  相当于定义了一个在位移空间上做功的线性函数

令力向量  为对偶空间  中的元素, 则  在位移空间中做功为

这种以对偶空间的方式定义力的概念和力学中最初以大小方向作用点定义的方式有所不同。在那里只说明了力是一个向量，而现在不仅说明了力的向量性质而且把它和  中元素即位移的关系阐明了，说明了力和位移的对偶关系。分析力学中广义力的概念也是这样引进的。

除了位移和力这一对对偶空间之外，在力学和物理学中还有许多对偶空间。如固体力学中一点的应变状态和应力状态构成了对偶空间，在一般情形下它们是六维的；在分析力学中广义力和广义位移组成一对  维的对偶空间等等。

作为一个例子，我们下面来具体分析一下质点系和刚体的平衡条件和位移约束条件。

设在位移空间  中给定一个质点的位移为 ，一个将任意的  变为  的线性函数对应于其对偶空间中的零向量，即

由于对偶是相互的，一个将任意向量  变为0的线性函数，对应于  中的零向量，即

这两件事实说明：在任意位移上做零功的力为零，而在任意力作用下都做零功的位移也为零。

引理  令  维线性空间中向量  的内积对于满足约束  ()的任意  都为 0, 即

则可以引进乘子 ，令

令其中  为任意，所得到的  即可满足要求。

将前述事实加以推广，设在空间中有  个质点，每个质点引进一个位移 ，则这些位移构成一个  维的向量空间 ，而它的对偶空间相当于由每一点上给定的一个力  所构成的  维空间 .

显然这个力系在任意位移上做功为零的条件为

如果给定的位移并不是任意的，比如说  个质点是约束在同一个刚体上，则  可以表示为

这里  与  为两个任意的常向量， 为空间质点的坐标向量。采用通常三维空间中向量的运算将式(4) 代入式(3)，得

由于  与  的任意性，有

这就是刚体的平衡条件。

同样，考虑作用在各点的力系任意变化下都做零功的位移所满足的条件，即考虑式(3) 在  满足刚体平衡条件(5) 时位移场应当满足的约束条件。在这种情形下，根据引理，把式(3) 与式(5) 两式联立，寻求  任意变化下  的解空间。为此，将式(5) 的两个等式分别乘以待定乘子  与  两个向量后与式(3) 相减，得

显然式(6) 可以化为

由于上式中  是任意变化的，于是得到

这也就是刚体位移的约束条件。

上面所讨论的刚体在两个相互对偶的空间内满足做零功的相互对偶的两个条件，就是刚体力学中的静力平衡条件(式(5))和运动学几何条件(式(8)).

对于连续介质，以弹性力学为例。

若弹性体一点的位移为 ，其在直角坐标中的分量为 , 则应变张量  各分量为

下标 1, 2, 3 对应于 .

作用在弹性体一点的应力张量为 , 分量为  ().

令弹性体为 ，其边界为 ，在  上作用有体力 ，边界  上作用有面力 .

现在考虑对于任何  下述不变量为零的条件

对上面的第 3 个积分进行分部积分就可以得到

由于  的任意性，所以一定有

这就是弹性力学问题的应力平衡方程和应力边界条件。

现在要讨论在满足平衡方程的应力任意变化条件下式(10) 成立时，位移应当满足什么条件。由于式(11) 是对于应力的 2 个约束，所以应当在讨论式(10) 是否成立时引进不定乘子 ，于是有

经过消去相同的项并且对最后一个积分进行分部积分，再考虑  的任意性，就会得到

式中右边是应变分量的位移表达式(9).

上面两个例子说明，由于引进对偶的概念，由物体运动的规律，可以通过对偶得到作用在物体上的力的规律。由应变表达能够对偶得到平衡条件。反之亦然。

同样，力学中有大量的对偶的规律，我们只要对一个方面研究清楚了，就能够通过对偶关系得到相应的对偶量的规律。

2 黎曼几何与拉格朗日动力系统

在一张光滑曲面上给了一个坐标架场，即每一点给了不共线的两个向量  和 ，还给了一个微向量

其中 ， 是坐标的微分，这个微向量的长度的平方应当是

如果把上式中的  ()，它们是坐标参量  的函数。这样，上式就可以写成

其中，按  从 1 到 2 约定求和。(即凡有上标和下标相同，就对于指标变量从 1 到它的上界求和)显然因为  所以 ，即  对于下标是对称的。它称为度量张量，或黎曼度量，有的情况下也称为度规张量。

在曲面上每一点给了式(13)，我们就能够计算曲面上任何两点之间的弧长进而也能够计算曲面上的其他度量性质，例如相交两条线的交角、闭曲线所围的面积等。实际上，关键是给了作为坐标参量  函数的 ，无需知道坐标架， 和 。也就是说，只要知道了 ，就能够知道曲面内的一切度量性质。把对于二维曲面的这个思想推广到  维流形上，就是黎曼几何。下面就将式(13) 中的上下标的变化范围扩大到 .

图 1 的四幅图，是荷兰艺术家摩里茨  科奈里斯  埃舍尔画的《圆的极限》。每一幅都画在一个半径为单位的圆内。画面从中心一直到边缘，逐渐变小，以至无限小。这几幅图中都是充满对称的图案。这种对称就不再是通过平移转动和镜面反射能够使图形重合，而需要引进适当的变换使图形重合。其中的奥妙就是采用的度量为

也就是

有关对称的更多知识请参见文献[2-3].

这样的二维黎曼空间，它的参数定义域是在一个单位圆内，这个圆称为庞加莱圆盘，是由法国数学家庞加莱首先引进的。有了度量就很容易求出空间的测地线(它相当于欧氏平面上的直线)。把测地线的参数变化画在圆盘上，然后根据测地线的轨迹去构图。第 3 个圆盘上的首尾相连的鱼就是沿着测地线画的。

德国数学家黎曼(Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826-1866) (图 2)是一位有多方面贡献的数学家。在哥廷根大学毕业后师从高斯攻读博士学位，于 1851 年以有关单复变函数的论文获博士学位。

1854 年黎曼在哥廷根大学初次登台为了提升讲师，作了题为《论作为几何基础的假设》(Ueber die Hypothesen, welche derGeometrie zu Grunde liegen)的演讲，开创了黎曼几何的历史。在这篇论文中，黎曼并没有用多少公式，其中列出的唯一重要的公式就是式(13).

这篇论文开辟了微分几何的新领域，除此之外，黎曼在数论、复变函数论、微分方程、数学物理等方面都有非常重要的贡献^[4].

正如平面可以看作曲面的特殊情形，当黎曼几何的度量张量的数值 ， (当  时)，黎曼几何就是通常的欧氏空间，亦即欧氏几何。

最早黎曼提出黎曼流形时，式(1) 中关于  的二次型是正定二次型，这是由于式(13) 左边是微弧的平方，不管在什么条件下都是正的。后来，人们考虑式(13) 不一定要求是正定的，这时这种空间就称为伪欧氏空间。在狭义相对论中，定义时空距离为

其中  是光速， 是时间。这就是一个伪欧氏空间。易于验证这个式子是在洛伦茨变换之下的不变量。

顺便提一句，当二次式(13) 不一定是正定的，而且后面还有  的一次项时，这种空间就称为芬斯拉空间(Finsler Space)，研究它的学问就称为芬斯拉几何。我国数学家苏步青是芬斯拉几何的专家。

在牛顿的《原理》出版后的 101 年，也是法国大革命的前一年，即 1788 年，却在法国出版了一本不含几何推理也没有任何几何插图的力学书, 这就是拉格朗日(Lagrange)著的《分析力学》, 用统一的方法处理带约束的力学系统。所谓分析力学，实际上可以看作约束体系的力学。这本书的出版标志着力学发展进入一个新阶段。

他首先引进可以完全描述力学系统状态的有限个参数，采用拉格朗日的符号，记为  称为广义坐标，后人也称为拉格朗日坐标。其次，他在系统运动时计算系统的动能 ，用  的函数来表示，即

把上式与后来黎曼引进的微弧长式(13) 对比，发现除了前面差一个 1/2 的系数外，完全是弧长对于时间微商平方的表达式。把这个空间的微弧长记为 .

拉格朗日以  表示作用量，使  最小的  便是真实运动。拉格朗日称之为最小作用量原理，由此可以得到不受外力时的运动方程。这个极值条件，也可以换一种提法，即考虑相空间短程线，即  ( 和  是相空间中的两点)取极小值的条件，根据变分原理，就可以得到真实运动必须满足方程

这里  是作用力在广义坐标中的表达式，当它们为零时，即不受外力的条件下，运动路径就是黎曼空间中的短程线。如果将  表为  的函数，且是有势力的情形，即

这时若令 , 则有

这个方程称为第二类拉格朗日方程，函数  是泊松引进的称为拉格朗日函数。

式(16) 中如果  则它的解就相当于使以  为黎曼度量的短程线。在欧式空间中不受外力的质点运动轨迹是直线。而有约束的力学系统在黎曼空间的运动轨迹是黎曼空间的测地线。式(17) 表示，如果以  为黎曼度量则该力学系统在这种空间的运动轨迹是  度量之下的短程线。因为这些微分方程都是相应的作用量取极值条件下的解。

可以看到，分析力学中引进的广义坐标实际上是最早高维空间的概念。后来黎曼引进了黎曼几何、黎曼流形，他的度量二次型实际上就相当于拉格朗日引进的动能的表达式。这才对力学上的广义坐标给了一个比较深刻的解释，所以也可以说，分析力学是流形上的力学。拉格朗日使力学摆脱了古典欧氏几何的束缚，但并没有使它永远脱离几何，而是使力学与更高层次的几何――流形几何或现代微分几何联系在一起。

总之，当给了一组广义坐标，或者用几何语言说，给了一个  维流形，在流形上定义了一个正定二次型(15)，那么就定义了一个动力系统(16)。这样就把拉格朗日动力系统完全归结于一种几何问题：一个运动的轨迹，对应于流形上的一条曲线。

3 辛几何与哈密尔顿动力系统

上一节我们引进了黎曼几何的概念。并且说，把黎曼几何中的度量进行推广或少许改变就会得到新的几何。不过上面引述的几种改变都还保留了二次式(13) 的对称性质。现在我们要引进一种比较大的改变，从而产生一种崭新的几何--辛几何(Symplectic Geometry).

改变的第一点是令空间的维数为偶数，第二点，最重要的是改变微分  乘积的定义。原来的乘积是可交换的，即 ，就是两个元素相乘时，次序先后结果都一样。这种乘法对于次序的置换是对称的。

现在把乘法的可交换改为交换次序后取反号，即 。也就是说，将原来坐标参数微分的乘法从对称改为反对称。为了区别于原来的乘法，把这种乘法取名为外积，乘法的符号也改用""，于是有 。在这样的改动下式(13) 就可以写为

由于外积的性质，上式中必然有 ，。另外，即这时的度规是一个反对称张量。由于引用了外积，上式也不一定是正定的了，所以就不再有弧长的性质，不再保留式(13) 左端的 .

上面这个表达式还是有一点复杂。现在我们引用一个定理(达布定理)，这个定理说，式(18) 在一定的条件下，总能够通过坐标参量的变换，把它化为如下的标准型

这个式子用矩阵的符号可以记为

式中  与  分别表示  阶零矩阵和单位矩阵。度量矩阵  的形式为

需要说明的是，外积的概念在 19 世纪就已经产生了。到了 20 世纪，法国著名数学家卡丹(Élie Joseph Cartan，1869-1951) (图 3)对它进行了系统的发展，并引进外形式和外微分的概念。表达式(18) 或(19) 就是一个二阶外微分形式，对于微分形进行外微分，可以得到更高阶的微分形。

后来的研究发现外形式有着更为丰富的几何内涵。与之相对应的式(13) 是仅仅考虑流形内的度量性质，对应的几何称为内蕴几何。而外形式则更多地考虑到流形的定向、低维流形与高维流形之间的关系，所以后来在力学、物理和微分方程的可积性等方面都有重要的应用。卡丹在李群理论及其几何应用、数学物理、微分几何等方面有很重要的贡献。

辛(Symplectic)这个词则是德国(后加入美籍)数学家魏尔(Hermann Klaus Hugo Weyl，1885-1955) (图 3)于1939年引进的。他首先引进了辛群(Symplectic Group)的概念，即一个线性变换群如果能够保持反对称二次型(18) 的反对称性质则这个线性变换群就称为辛群。对辛群，魏尔在1946年出版的专著《经典群，它们的不变量与表示》第六章中有较详细的讨论。

抗日战争胜利后，蒋介石想制造原子弹，曾派出华罗庚(数)、吴大猷(理)、曾昭抡(化)，各带一二位研究生于 1946 年赴美考察。后来他们知道，美国政府规定：凡与原子弹有关的研究机构和工厂，-律不准外国人进入。这三位和他们所带的研究生只得"各奔前程"。华罗庚就去访问普林斯顿，接触到魏尔，并把"Symplectic"翻译为"辛"，介绍到中国。

1834 与 1835 年，哈密尔顿发表了两篇著作，《论动力学中的一个普遍方法》与《再论动力学中的普遍方法》。在这两篇论文中包含了他对分析力学的主要贡献。

哈密尔顿引进了

后人将  称为哈密尔顿函数。将  称为哈密尔顿的广义坐标。

利用  式，从中解出  为  的函数代入上式，再将上式作变分可得

注意式中的自变量的变分是任意的，可得到

这便是以哈密尔顿函数  与哈密尔顿变量  表示的运动方程。后人也将它称为哈密尔顿方程。  决定的流形，也称为相空间，显然它是  维的。

现在把式(21) 写成矩阵的形式，我们有

式中

这个式子中右端的矩阵就是式(20)，就是说方程(21) 的反对称性质和辛几何中的二次型(19) 的结构是相同的。于是讨论关于方程(21) 的许多问题就和研究辛几何的问题一致起来了。例如要在相空间进行一个变换使它在新的相空间的方程仍然具有(21) 的形式，就和辛空间的参数变换使得二次型(19) 的形式不变是同一个问题。这样的变换在力学中称为正则变换，在辛几何中称为辛群。

哈密尔顿的力学系统与拉格朗日的力学系统的不同处在于，它是把原来的二阶方程组化归为一阶方程组。对应的几何语言也有不同，考虑由广义坐标  构成的  维流形，还要考虑流形上每一点有一个由  组成的  维切空间，它们的直积就构成一个  维流形，这样的流形，称为  维纤维丛。如果在这个纤维丛上定义了一个 2 次外形式，这就是一个辛流形，并且定义了一个哈密尔顿函数 ，则我们就构成了一个辛流形上的动力系统。

哈密尔顿方程不仅是从形式上将拉格朗日的二阶方程组变为一阶方程组，使它更易于求解，而且由于使它与辛几何对应，开辟了从研究辛几何去获得关于解的性质的途径。进而它告诉我们，一切具有能量守恒的力学系统，或者说二阶方程组都能够化归为哈密尔顿系统求解，近年来，有些学者将理想流体的欧拉方程组，化归为哈密尔顿系统来研究，得到了一些新的结果。另外由于哈密尔顿系统具有守恒性质，所以在对力学系统进行离散化数值计算时，要使差分格式的每一步都能够保持反对称性质，或者说每一步都是保辛的格式，则计算精度会更好。

4 变换群与动力系统

1637 年, 笛卡尔(Rene Descartes，1596-1650) 发表《La Géométrie》奠定了解析几何的基础。从而产生了坐标变换的概念。

1893 年, 李(Marius Sophus Lie，1842-1899) 出版了包含其九年研究成果的三卷书《Theorie der Transformationsgruppen》。奠定了李群也就是变换群的基础^[6].

1872 年，德国数学家克莱因(Felix Christian Klein，1849-1925) 在论文《Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen》中提出以变换来区分非欧几何的理论, 后来被称为 Erlangen program (爱尔朗根纲领)。

他将欧氏几何、罗巴切夫斯基非欧几何以及狭义的黎曼非欧几何等度量几何都统一于射影几何而成为射影几何的特例。他将当时的几何，分为射影几何、仿射几何和欧氏几何，这不同的几何对应于不同的变换群。并且称："给了一个流形和这个流形的一个变换群，建立关于这个群的不变性理论。

"就是说，几何学是研究变换群作用下图形和形体的不变性质的。这个思想成为后来几何学发展的纲领。后来人们引进了空间的连续变换群，开辟了一种新的几何：研究在连续变换群作用之下的不变的性质的几何成为一门新的几何领域，这门新的几何就是拓扑学。

在引进了坐标和时间的变换后，人们自然要讨论在这些变换下，哪些力学量保持不变。于是人们定义了以下 3 个力学量：动量 、角动量  和能量 。人们立即发现，这 3 个力学量分别在坐标的平移、旋转和时间的平移之下保持不变。这就是著名的力学中的三大守恒定律。

1904 年罗伦茨(H.Lorentz，1853-1928) 引进了时间和空间变量的罗伦茨变换，在罗伦茨变换下，时空距离  是不变量。其中  是光速。罗伦茨变换在后来相对论的发展中起了非常重要的作用。

在研究了许多个别的不变量之后，人们需要从一般的观点来讨论变换和不变量。在力学问题被牛顿和拉普拉斯等人提为微分方程组之后，一个力学系统的变化可以用动力系统  表述，设给定初值为 ，它的解是

这个解实际上给出了从  到  的一个带参数  的变换。李是系统研究这种变换的第一人。这个变换构成了一个单参数变换群，也称为单参数李群。

设  为  的任一函数，一般来说如果

则  就是在变换(22) 之下的一个不变量。显然这个条件是充分必要的，这是因为

进一步讲，力学中的各种定律和各种方程，都是讲在一定条件或过程中的不变量。都可以统一纳入不变量的理论中去讨论。

从比较一般的观点给出不变量的定义是, 一个函数  在变换群  作用下称为不变量，如果有

这个定义说明不变量在任何单参数群上保持常数。在变换群中, 最重要的一类群是给了  点和  点，若有一个  使  变到  点, 即  使 .

从变换的观点来看问题，不仅动力系统的任何第一积分可以看作不变量，连续介质力学中的本构关系，控制力学规律的各种方程也可以看作不变量。所以可以从不变量的角度来研究力学中的所有问题。例如，力学中量纲分析，实际上就是讨论在时间、空间和质量的度量单位变换下力学系统不变的性质。而度量单位的变换构成一个变换群。

把这个思想提升到理论高度的是一位德国女数学家诺特(Amalie Emmy Noether，1882-1935)，她的结果被后人称为诺特定理。这个定理是说：客观运动每一种变换群作用下的不变性都对应于一个物理量的守恒定律，反之亦然。上面说的不变量，可以推广，把一个微分方程在变换之下不变，也可以称为微分不变量。诺特定理说如果一个动力系统在一个变换下不变，则这个动力系统就存在一个守恒律。这个定律把找寻不变量的问题转化为一个寻找变换群的问题。

由此打开了 20 世纪整个理论物理研究的新局面。例如，力学系统在时间移动之下的不变性，对应于能量守恒定律，对于空间平移的不变性对应于动量守恒定律，对于旋转变换之下的不变性对应于角动量守恒定律等等。在电学中的电量守恒、量子力学中的宇称守恒等等都对应于相应的变换群作用之下的不变性质。

20 世纪对于基本粒子的探索，这个定律起到了举足轻重的作用，所以有的物理学家说："它是引领现代物理前进的最重要的能够和毕达哥拉斯定理相匹敌的数学定理。"在力学中讨论的许多变换中，还应当着重介绍的是勒让德变换。

1787 年，勒让德(Adrien-Marie Legendre，1752-1833) 在蒙日关于最小曲面研究的启发下，给出了勒让德变换。勒让德变换在力学和物理上的应用，可以把作用量的自变量换成与原来变量对偶的变量。由此就可以发展出一系列的另外的作用量和运动方程的新的表述形式。

勒让德变换是从以下偏微分方程出发的

其中若令 ，再令  仅是  的函数。令曲面  的切平面为

则应当有

式(25) 在变量  与它们的对偶变量  之间给了一个变换。把这个变换具体写出来就是对它求微商得

考虑到上面变换的雅科比矩阵应当互逆，即

于是有