综述 | 随机Loewner演化学术资讯

来源：中国科学杂志社

随机Loewner 演化 (Stochastic Loewner Evolution，简称SLE) 是目前国际上的热点研究方向，涉及复分析、随机分析、动力系统、分形几何等多个方向并在统计物理中有十分重要的应用。因为在SLE领域的杰出成就，Werner 和Smirnov分别获得了2006年和2010年的菲尔兹奖，Lawler则获得了2019年沃尔夫奖。相变是物理学中一个非常重要的概念，它刻画系统状态的变化。例如在温度到达100摄氏度时，水变成水蒸气; 当温度降低到一定的温度时，超导体的电阻瞬间变为零等。物理学家对不同的系统引入不同的参数来刻画相变，例如用密度的急剧变化来描述水由液体变成气体的变化；用电阻来描述超导体的导电性的变化。物理学家通常采用一些格子点模型来描述这些系统。物理上的相变现象对应在模型中可解释为存在一个临界值，使得在临界值处系统的一些宏观性质发生了不连续的变化。因此对临界值的研究非常重要。基于系统的大范围的尺度不变性，物理学家猜测在临界状态下其也满足局部的尺度不变性，从而满足共形不变性。利用格子点模型描述一个系统时，自然产生了一个问题: 当格子点的尺度趋于零时，其连续极限是否存在? 如果极限存在，是否满足共形不变性质? 长期以来，人们对这些问题在严格数学意义下知之极少; 在SLE被引入之前，尺度极限甚至都没有一个严格的数学定义。直到本世纪初， Schramm首先将复分析中的Loewner理论与随机分析相结合，创立了SLE理论。他首次给出了尺度极限的严格定义，并且引入SLE来描述尺度极限。他进一步证明了如果擦除回路的随机游走(LERW)的尺度极限存在并且满足共形不变性质，则其一定是 SLE(2)。在随后的十几年，SLE 作为将复分析、随机分析和统计物理交叉融合的领域蓬勃发展起来，成为国际上一个新兴的热点研究方向。许多数学家在这方面做出了非常出色的工作，从数学上严格刻画了多个重要的统计模型，如渗流、Ising模型、离散高斯自由场等。其中最为著名的工作是Schramm、Werner和 Lawler利用SLE 作为工具，证明了Mandelbrot关于平面布朗运动的外边界的Hausdorff维数是4/3的猜想（依概率1），以及Smirnov关于渗流和Ising模型的突破性贡献等。SLE以统计物理作为出发点，以复分析作为重要工具，再结合随机分析，最后再用以解决统计物理的问题，展现出非常强的交叉性、综合性和应用性。SLE研究的侧重点也可以根据不同的背景而不同，既可以只从复分析方面单独研究（比如说Loewner方程的研究），又可以单独研究SLE的性质（比如SLE与点的关系等），还可以基于物理结合复分析和随机分析来研究 (比如模型的收敛性等)。目前，基于不同的研究目标，SLE各个方面的研究具有不同的侧重点，但是各方面与之相关的许多重要结果正在不断涌现，很多重要的问题还有待解决。这是一个充满生机和活力的交叉、应用研究方向。本文应《中国科学：数学》的邀请，对SLE这一研究方向作一个综述性的介绍。主要包括: 介绍 SLE 的背景和发展，给出一些基本定义和概念，讨论其中涉及的一些主要研究方法和结论，同时介绍近年来的一些主要进展，以及一些有待进一步发展和开展研究的重要方向或问题。

论文信息

韩勇，王跃飞. 随机Loewner演化介绍. 中国科学：数学，2020，50：795–828
作者简介：

王跃飞

中国科学院数学与系统科学研究院研究员，深圳大学特聘教授。曾获得国家杰出青年科学基金、首批“新世纪百千万人才工程”入选者、中国科学院“百人计划”入选者等。历任中国科学院数学研究所所长、中国科学院数学与系统科学研究院执行院长、中国数学会副理事长等。

韩勇

获法国奥尔良大学和中国科学院大学双博士学位（2017年7月），现为清华大学丘成桐数学科学中心博士后研究人员。

来源：scichina1950 中国科学杂志社

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