一念非凡之薛定谔：量子力学是本征值问题

量子力学是二十世纪物理学的两大支柱之一。如果论起对人类社会的影响，量子力学比另一支柱——相对论——要大得多。有了量子力学，我们理解了原子的光谱，它的影响之一是让我们能将整个可观测宇宙纳入我们的研究范围；我们理解了固体的导电性，它的影响之一是让我们有了半导体的概念从而使得人类进入了信息时代。对于今天的物理系学生来说，掌握量子力学知识是起码的要求。量子力学的基本方程是薛定谔方程， iℏ∂Ψ/∂t =HΨ 。这个方程，就是左边一项右边一项，按照西方的表达，外观上具有欺骗性的简单（deceitful simplicity），但它却是最重要的物理学方程之一。

薛定谔（Erwin Schrödinger，1887—1961），奥地利维也纳人。他1906—1910 年在维也纳大学学习，1914年通过授课资格考评，1921年才在波兰一所大学获得教授职位，同年转往苏黎世大学，1927 年起接替柏林大学普朗克的位置。同那几位与他齐名的、同时代的德语国家物理教授相比，薛定谔可以说是大器晚成。他1925 年底得到确立其地位的薛定谔方程时已是38岁。

1925 年底，法国青年德布罗意（Louis de Broglie）的博士论文，其中提出了物质波的概念，传到了苏黎世工业大学的德拜（Peter Debye）教授手里。德布罗意物质波的概念基于对当时物理学的综合：（1）光的波动性是被确立的，但人们又不得不接受它具有粒子性的说法。爱因斯坦就是用光能量量子的概念解释了光电效应，其中的一个假设就是光的能量量子是一个一个地被吸收的；（2）以前性质不太清楚的阴极射线被发现具有动量，可以被电磁场偏转，是一种带负电的粒子，如今被称为电子。德布罗意作了一个大胆的假设：既然光分明是波那样的东西竟然还具有粒子性，那现在我们觉得是粒子的东西，比如电子，不会也表现出波动行为吧？这一观点就是所谓的物质的波粒二象性。参照光的频率v 和波长λ同光的能量量子之能量E 和动量p 之间的关系，德布罗意猜测若电子等粒子也是波的话，其频率和波长应该分别是v=E/h；λ=h/p，这里h 是普朗克常数。德拜教授拿到这样的博士论文和如此简单的公式不知是什么表情，他的说得出口的评论是如果认定电子等粒子是波的话，怎么着也该给凑个波动方程吧？那时候，机械波和电磁波的方程可已经是被人们研究透了的。德拜把论文交给了当时在那里访问的薛定谔手里，希望他仔细看看，下次讨论会上能给大家讲讲。

但是，薛定谔当真了，他要给物质波找到一个波动方程。确切地说，是为电子找到一个波动的方程。

薛定谔那时38 岁，同其他的科学巨擘相比，他已经很老而且毫无建树。当时在量子力学领域声名鹊起的海森堡是1901 年出生的，而1928 年给出电子的相对论量子力学方程的狄拉克是1902 年出生的。就在1925 年秋，薛定谔写下了一段感慨，多少能让我们看到他内心的焦躁：“我，38 岁，早过了伟大理论学家作出重大发现的年纪，占着爱因斯坦曾占过的教席，我是谁？我从哪里来？我要到哪里去？”落笔不久，他的辉煌时刻就来了。1925 年圣诞来临前，薛定谔带着德拜的问题去了学校附近山中的疗养院，一周后他带着他的量子力学方程下山了。1926 年，薛定谔分四部分发表了“作为本征值问题的量子力学”一文，为量子力学奠定了基础，也奠立了他在物理学史上的地位。

薛定谔是如何得到他的量子力学方程的，从文献中的资料不易再现当初完整的过程。薛定谔一开始是从相对论出发的，毕竟那时关于电子的相对论理论是已经有了的，且电子的行为必定是相对论性的，但是这条路薛定谔没走通。他转而回到经典力学。他要的解的形式是知道的，波的表达形式在物理学家眼里就是函数Ψ(x，t) = ψ0ei(kx - ωt)，或者干脆写成Ψ(x，t) = ψ0e2πi(x/λ - vt)。把德布罗意的关系带入波函数的表达式，波函数就变成了Ψ(x，t) = ψ0ei(px - Et)/ℏ的样子，带入一般的经典力学里弦的振动方程就得到了后来被称为薛定谔方程的波动方程iℏ∂Ψ/∂t =HΨ ，这里的H是哈密顿量，为系统的动能与势能之和。熟悉经典力学的薛定谔对哈密顿量H可亲切了。至于这里的函数Ψ 在描述电子的行为时是什么东西，薛定谔不知道。薛定谔把他这个方程应用于氢原子问题，他发现只要要求波函数Ψ 是有界的，就能得到电子在氢原子中的能量是三个量子（整）数（n，l，m）的函数， En，l，m = -E0 /n2 。这个能量公式再现了玻尔原子模型给出的氢原子中电子的能量公式，能解释氢气的光谱。目光明锐的读者已经注意到，公式En，l，m = -E0 /n2 的右侧项没有出现（l，m），考虑在电磁场中的情形它们就出现了——这意思是说薛定谔的方程能解释光谱的斯塔克现象(光谱线在电场下的分裂)和塞曼现象（光谱线在磁场下的分裂）。薛定谔方程太伟大了，它几乎就是量子力学的标志（图1），是少数几个值得刻到墓碑上的公式。当然了，它也是初学量子力学者遇到的第一头拦路虎。

图1 维也纳大学摆放的薛定谔的大理石胸像，上面刻有公式iℏΨ= HΨ

薛定谔有理由为自己感到骄傲了。然而薛定谔到底是怎样构造他的量子力学方程的？笔者从一些支离破碎的信息中拼凑的一个过程也许更合理一些，至少从科学思想演化的角度来说它是连贯的。薛定谔在从狭义相对论出发的初步尝试失败以后，转向了玻尔兹曼的熵公式S=klogW。作为维也纳人和维也纳大学的学生，他对这个公式太熟悉了。这个公式中的W在德语中是当作几率（Wahrscheinlichkeit）的首字母来理解的，但它也是波（Welle）这个词的首字母。要得到波的方程不就是要得到关于W的方程，这不现成的就是一个W的方程嘛。所以要把S=klogW 写成W 是主角的形式，W=eS/k 。不过这指数函数中的变量需要加上虚数因子i才能表示波动，记得欧拉公式eix = cos x + i sin x吧，正弦函数和余弦函数是物理学家们表示波的不二法门。此外，要描述量子力学，那得和量子力学有关系，那就把玻尔兹曼常数k 换成普朗克常数h 吧。于是，描述波W的函数就成了W= eiS/ℏ(ℏ = h/2π) 的样子。作为优秀的物理学家，薛定谔当然明白在物理里用的函数中的变量必须是无量纲的数，普朗克常数的量纲是作用量的量纲，则那个S 的量纲也应该是作用量的量纲。S原来是熵，现在在薛定谔的眼里是个量纲为作用量的一个量。薛定谔太熟悉经典力学了，他知道经典力学里作正则变换的时候引入过一个量纲为作用量的函数S，而且还有S该满足的方程，Hamilton—Jacobi 方程， ∂S/∂t +H= 0 。把W= eiS/ℏ 带入Hamilton—Jacobi方程∂S/∂t +H= 0 ，就得到了iℏ∂W/∂t =HW 。当然啦，用W 表示波似乎还有经典力学的土气，换个希腊字母Ψ 表示量子力学的波吧（薛定谔写过一本叫《自然与希腊人》的书，而且会希腊语），这样就得到了量子力学的薛定谔方程iℏ∂Ψ/∂t =HΨ 。H的意义也改变了，在经典力学里它是一个量，在量子力学中它是算符（operator），因此薛定谔方程也可写成iℏ∂Ψ/∂t =НΨ 的样子。理解薛定谔方程的产生过程需要跟得上思想的跳跃，别不习惯，物理学就是这么构造出来的。薛定谔方程应用的巨大成功使得人们不再去纠缠其构造是否合理。

薛定谔方程虽然是量子力学的基本方程，成千上万的人修习过量子力学，但是却鲜有人读懂了薛定谔1926 年那篇奠基性论文的题目“作为本征值问题的量子力学”。1987 年终于有一个人读懂了，那人把麦克斯韦方程组改造成了薛定谔方程那样的本征值问题，于是有了光子晶体的概念。

薛定谔不只是一个单纯的物理学家，他还是一个了不起的文化学者，对人与自然的关系有深刻的思考。1943 年薛定谔在都柏林的六个讲座集成了一本小册子《什么是生命》（图2）。薛定谔从物理的角度思考生命的本质，他认为生命区别于无生命的存在一定是其中存在着承载和表达信息的东西，而这个信息载体的结构一定是准周期的（aperiodic）——完全无序和晶体那般地有序都意味着承载信息能力的不足。后续的科学发展证明了薛定谔的思想之深刻，DNA螺旋结构的发现获得了1962 年的诺贝尔生理或医学奖，准周期结构的研究获得了2011年的诺贝尔化学奖。

图2 薛定谔的塑造了生命科学的小册子《什么是生命》

来源：《一念非凡——科学巨擘是怎样炼成的》