Light：三维高阶拓扑电路中的八极子拓扑角模式

来源：两江科技评论

导读

图1 三维拓扑电路的单元结构示意图及样品

研究背景

拓扑材料是一种依照数学中的拓扑数来对材料进行分类的全新材料分类范式，主要包括拓扑绝缘体、拓扑半金属等，是目前凝聚态物理中的研究热点。与传统绝缘体不同，拓扑绝缘体具有内部（表面态）绝缘但表面或者边界导电的独特物体性质，有些拓扑绝缘体的表面态与自旋相关，即两个自旋相反的表面态沿着相反的方向传播，它可以用来实现完美的单向导电。同时拓扑表面态受到体系对称性以及时间反演对称性的保护，对晶格缺陷或者体系随机扰动具有高度的鲁棒性，因此能够沿着任意曲率和形态的表面进行无散射或低散射传播。

由于拓扑材料始于凝聚态物理领域，因此拓扑材料的研究几乎局限在电子体系或者光学体系，由于电路与光学体系的同源性，近年来，人们开始关注如何在电路中实现或模拟拓扑绝缘体、拓扑半金属。拓扑电路最早由Jia Ningyuan等人于2015年提出，他们通过四种不同的电路连线方式，构建出具有0、π/2、π、3π/2相位的电容网络，从而实现了类似Hofstadter模型的拓扑绝缘体，通过将两个电感上的电压A和B进行(A±Bi)形式的组合，便可得到类似于电子体系的两种自旋，并在实验中观测到了类似量子霍尔效应的现象，即自旋相反的两个边界态在边界上沿着相反的方向传播。随后2018年，Erhai Zhao进一步从电路拉格朗日量的角度进行分析，对该类通过电路不同连接方式所构成的拓扑电路给出了更加一般化的分析，并给出了不同相位所对应的连接方式，为采用该类单元结构构建各种复杂的拓扑电路提供了便利。2019年，Yuehui Lu等人首次在电路中实现并探测到了外尔(Weyl)费米弧，作者通过测量三维电路内部节点的电压，获得了整个三维拓扑电路完整的动量空间频谱，进而从三维贝里曲率（Berry curvature）空间直接观测到了手征电荷为+1和-1的一对外尔点，打破了以往在光学体系和电子体系的外尔半金属材料中，只能通过测量其表面态来表征拓扑材料的限制。

目前大部分的拓扑绝缘体中的非平庸拓扑边界态都是比材料本身维度仅仅低一个维度。2017年，Wladimir A. Benalcazar等人提出了一种高阶拓扑绝缘体的理论模型，这种拓扑绝缘体中的非平庸边界态为零维，比材料本身的维度低至少两个维度以上，因此它们出现在二维或者三维材料的边角/顶点上，并受到体系对称性保护。随后，Stefan Imhof等人通过电容电感网络的特殊连接，实现了包含四极子拓扑非平庸角动量的二维高阶拓扑电路，在正方形二维电路的角点上观测到了理论预测的四极子拓扑角模式。

创新研究

3.1 电路设计及测试

为了观察该三维电路中的八极子角模式，作者设计并加工了一个包含2.5×2.5×2.5个单元(5×5×5个节点)的三维电路，如图1b所示。图2a和b分别给出了有限大电路拉氏量矩阵的本征值和哈密顿量的本征频率，可以清晰地观察到在2.77MHz处有一个孤立的模式，这便是八极子角模式。

图2 电路拉氏量和电路哈密顿量的本征值频谱

与电子体系不同，电路中的非平庸拓扑边界态是通过两个相邻节点之间的阻抗来表征的，图3a给出了30kHz-6MHz之间的阻抗频谱的实测结果，其中蓝色和灰色曲线分别代表角点和电路体内节点上的阻抗频谱，实测结果除了微小的频偏，总体上与理论计算高度吻合。为了更清晰的表征电路中的八极子角模式，图3b中给出了2.77MHz时所有节点的阻抗空间分布图，可以清晰的看到左下角黄色节点具有明显的高阻抗，说明该点存在角模式。

图3 实测的八极子角模式

3.2 拓扑数及鲁棒性

作者通过求解电路在周期边界条件下的本征态的解析解，分别沿着z、y、x方向计算其Wannier能带的Wilson Loop，最终得到了1/2的拓扑数，从理论层面严格证明了该拓扑角模式的非平庸性（即具有非零的拓扑不变量），并进一步证实其源自于体系的八极子动量。

作为拓扑保护态，该三维高阶拓扑电路中的角模式对电路元件的随机误差具有一定的鲁棒性。作者通过大量仿真计算，从统计角度分析讨论了当电路元件在不同随机误差时，角模式的频率、强度、以及体系的禁带宽度的变化及它们之间的关联。作者发现该拓扑角模式在20%元件误差范围内，都有较强的峰值。

图4 拓扑八极子角模式在不同元件误差时的鲁棒性

3.3 应用与展望

在电路体系中研究拓扑绝缘体有诸多优势，例如由于电路中任意两个节点之间的耦合及其强度可以通过连接电容、电感等器件来控制，由此可以方便地构建光学或电子体系中无法实现的特殊耦合，实现具有非互易、时间调制以及高维度的拓扑材料。此外，电路中可以利用运算放大器等有源元件来构建负电阻，从而轻易地实现包含增益和衰减的一系列非厄米的拓扑绝缘体，更有趣的是，还可以运用非线性元件（如变容二极管）为电路引入非线性，探索拓扑材料在非线性作用下的全新物理现象。该研究成果以”Octupole corner state in a three-dimensional topological circuit”为题在线发表在Light: Science & Applications。