有个问题只能在8维和24维空间中找答案

有个问题只能在8维和24维空间中找答案 时间: 2019年06月17日 | 作者: Erica Klarreich | 来源: 环球科学（huanqiukexue.com） 在8维和24维空间中大小相等球体的最密堆积法，还可以用来解决无数个不重合点的最佳排列问题。

三年前，瑞士洛桑联邦理工学院的Maryna Viazovska一鸣惊人，找出了在8维和24维空间中大小相等球体的最密堆积法。如今，她和合作者提出了一项更出彩的证明：解决上述问题的构型，还可以用来解决无数个不重合点的最佳排列问题。

撰文 | Erica Klarreich

翻译 | 马一瑗

编辑 | 吴非

这些点可以是无限多个相互排斥的电子的集合，它们需要达到最低能量构型；还可以代表溶液中具有聚合物长链的中心，它们需要避免与其他聚合物碰撞。相似的问题还有很多，但是否存在通用的解决方法呢？数学家认为，在大多数维度中，这都是不太可能的。

但是，8维和24维是例外。它们各自包含一个特殊的高度对称的点构型，能同时解决所有问题。用数学语言来说，这两种构型是“普遍最优的”。

这一新发现涵盖了Viazovska及其合作者以前大部分的工作。“但灵感的火花并未止步于此。”匹兹堡大学的数学家Thomas Hales评价道，他于1998年证明了在三维空间中，球体的最密堆积法是金字塔型。

如今，8维、24维与1维一同成为了已知具有普遍最优构型的维度。数学家怀疑二维平面上的等边三角形晶格也是一个普遍最优构型，但是没有证据。三维空间则复杂得多：不同情形中存在不同的最优点构型，而对于某些问题，数学家对它们的最优构型甚至毫无头绪。

“改变维度或是稍微改变问题，一切就可能完全无法预测了，”布朗大学的数学家Richard Schwartz说，“我不知道为何数学宇宙会这样古怪。”

证明普遍最优性要比解决球体堆积问题困难得多。这是因为普遍最优性同时包含无数不同问题，而这些问题本身也很难解决。在球体堆积问题中，只用考虑每个球体附近球的位置；但是对于分散在空间中的电子，不管相距多远，每个电子还会与所有其他电子相互作用。Hales说：“即使有早期的工作支持，我也从没想过普遍最优性的证明会是可行的。”

“他们的工作令我印象深刻，”纽约大学的数学家Sylvia Serfaty说，“它的意义相当于19世纪的数学大突破。”

一个魔法证明

8和24维的表现会与7、18或25维不同，这听起来也许很奇怪，但数学家们早已知道，在不同的维度里，物体的堆积方式是不同的。例如，考虑一个更高维度的球体，将它定义为与某一中心点等距的点的集合。如果比较球体与能装下它的最小立方体的体积，当维度增加时，球体占据立方体的体积比越小。如果你想把一个8维的足球装进最小的立方体盒子，那么这个球只占盒子体积的不到2%，剩下的空间全部被浪费了。

在所有高于3的维度中，构建一个类似于金字塔堆积的结构都是可能的，并且随着维度的增加，球体之间的空隙会增大。当达到8维时，空隙突然增大到足以将新的球体放入。这就产生了一种被称为E8晶格的高度对称构型。同样，在24维中，会产生Leech晶格，可以将额外的球体放入另一个已被研究透彻的球体堆积空隙中。

出于某种数学家们没有完全理解的原因，这两种晶格出现在从数论到数学物理等各个数学领域中。十多年来，一直有强有力的计算证据暗示，E8和Leech晶格在各自的维度上是普遍最优的，但数学家还不知道如何证明这一点。

直到2016年，Viazovska迈出了第一步，她证明了这两种晶格是最优的球体堆积法。（她与Cohn、罗格斯大学的Abhinav Kumar、Stephen Millerrof，以及德国马克斯普朗克数学研究所的Danylo Radchenko一起得出了Leech晶格的证明）

Hales的三维球体堆积证明足足写了数百页纸，还需要大量的计算机计算，而Viazovska的E8证明只有短短23页。她的论证核心是找出一个“魔法”函数，以证明E8是球体堆积的最优方式。这一函数可能很难找，但一旦找到，就能使证明问题豁然开朗。举例来说，如果有人问你是否存在实数x使多项式x2–6x+9为负，你第一时间可能很难回答。但是，当你意识到这个多项式等于（x-3）2时，你立刻就会知道答案是否定的，因为平方数永不为负。

Viazovska的魔法函数很强大，甚至超乎预期。球体堆积问题只关心附近点之间的相互作用，但是Viazovska的方法似乎也适用于远程相互作用，例如电子之间的相互作用。

高维不确定性

要证明空间中某种点的构型是普遍最优的，必须先指定所讨论的问题体系。不存在对所有目标都是最优的点的构型，例如，当引力作用于点上时，最低能量的构型不是任何一种晶格，而是所有点都位于同一个点上的大规模堆积。

Viazovska、Cohn和他们的合作者关注的是斥力体系。准确地说，他们考虑的条件是完全单调的，即点之间的距离越近，斥力越强。这一体系包括物理世界的众多常见力，例如电荷的库仑平方反比定律。球体堆积问题属于这一体系的边缘问题，只要把球体不重叠的条件转换为当两球中心距小于直径时，会出现无穷大的斥力就可以了。

对于这些完全单调的力，问题就变成：对于无限多的粒子集合，其最低能量构型，或者说“基态”是什么。2006年，Cohn和Kumar通过比较能量函数与具有良好性质的较小“辅助”函数，开发了一种求基态能量下限的方法。他们发现每个维度都存在无限多的辅助函数，但无法确定哪个是最好的。

在8和24维中证明普遍最优性的五位论文作者：从左上顺时针分别为Henry Cohn, Abhinav Kumar, Maryna Viazovska, Stephen Miller和Danylo Radchenko。

Cohn和Kumar发现在大多数维度中，他们找到的数值边界与最广为人知的构型的能量大相径庭。但是在8和24维中，Cohn和Kumar尝试模拟了所有的斥力，其数值边界与E8和Leech晶格的能量都惊人地相似。自然，接下来的疑问就是，对于任何给定的斥力，是否存在一个完美的辅助函数，其给出的边界与E8或Leech晶格能量完全匹配。对于球体堆积问题，这正是Viazovska三年前的工作：她在模函数中找到了完美的“魔法”辅助函数，模函数的特殊对称性使它们数世纪以来一直是数学家的研究对象。

当涉及到其他排斥点问题，例如电子问题时，每个魔法函数需要满足的特性是已知的：其必须在特定点上具有特殊值，而其傅立叶变换（用于量化函数的固有频率）则需要在其他点上具有特殊值。研究人员只是不知道这样的函数是否存在。

通常，构造一个在某些点上有期望效果的函数很简单，但是同时控制函数及其傅立叶变换是非常困难的。Cohn说：“当你强行调整它们中的一个时，另一个总会与你的期望背道而驰。”

事实上，这一特性属于物理中著名的不确定原理。海森堡不确定原理就是这样一个特例，因为一个粒子的动量波是其位置波的傅立叶变换。

对于8或24维中的斥力，Viazovska大胆地推测：研究团队想要在他们的魔法函数上施加的边界限制，及其傅立叶变换都恰好落在可能和不可能之间的界线上。她怀疑，再多一点限制，就不可能存在这样的函数；再少一点限制，则可能存在太多函数。而在团队所研究的条件下，恰好只有一个函数完全合适。

“我认为这是Viazovska的一大优点，” Cohn 说，“她既有洞察力，又很大胆。”

而Cohn对此持怀疑态度——Viazovska的猜测太理想了，很难相信是真的。但最终团队证明了她是对的。他们不仅证明了每个斥力都正好对应一个魔法函数，还给出了其构造方法。与球体堆积一样，这种结构直截了当地证明了E8和Leech晶格的最优性。“这个结果意义重大。” Schwartz说。

三角形晶格

除了解决普遍最优性问题外，新的证明还解答了许多自三年前Viazovska解决球体堆积问题以来一直存在的疑问：她的魔法函数是怎么得出的？ “我想很多人都很困惑，” Viazovska说，“他们不断问，‘这里是什么意思？’”

在这篇新的论文中，Viazovska和她的合作者证明了球体堆积魔法函数只是一系列模函数中的首例，这些模函数可以被用来构造针对各种斥力的魔法函数。“现在它有很多兄弟姐妹了。” Viazovska说。

这一切如此巧妙，仍然让Cohn觉得有些不可思议。“在数学中，有些事你必须通过坚持和蛮力来完成，”他说，“而有时候，就像这次一样，像是数学希望巧合发生。”

下一个问题自然变成，这些方法是否适用于证明另一位候选者：二维平面中的等边三角形晶格的普遍最优性。

与E8和Leech晶格不同，二维三角形晶格在自然界中无处不在，从蜂窝结构到超导体中的漩涡状排列均在此列。在大量的实验和模拟基础上，物理学家们提出假设，这一晶格在广泛的范围中都是最佳的。但是，没有人能给出三角形晶格普遍最优的概念解释，而这有望由数学证明解答。

除8和24维之外，二维是唯一一个Cohn和Kumar的数值下界可以良好运作的维度。这强烈暗示了二维中应该也存在魔法函数。但是同样的构建魔法函数的方法不太能在这个新领域中延伸。它很大程度上依赖于E8与Leech晶格中，点距恰到好处，而在二维中则不是这样。Cohn认为，这一维度“目前似乎超越了人力”。

当前，数学家们还在庆祝他们对古怪的8维和24维空间的新了解。Schwartz表示：“这是我有生之年能见到的最好的事之一。”

原文链接：

https://www.quantamagazine.org/universal-math-solutions-in-dimensions-8-and-24-20190513/