拉马努金机：用算法发现新数学

来源：原理

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细数人类史上最伟大的那些思想，斯里尼瓦瑟·拉马努金（Srinivasa Ramanujan）绝对能算得上是其中一个。很多人或许从《知无涯者》这部传记电影中获悉了他短暂而传奇的一生。

1887年，拉马努金出生在一个距离马德拉斯（现在的金奈）约400公里的小村庄里，很早的时候，他就对数学产生了浓厚的兴趣。他不喜欢大多数数学家所喜欢的那种形式证明，出身贫寒而靠着自学成才的他总能提出打破传统的数学思想。

1914年，在剑桥大学数学家哈代（G.H.Hardy）的邀请之下，拉马努金于启航前往英国，开始了数学史上最迷人的一段合作，两个惺惺相惜的伟大头脑衍生出了一系列数论领域的重要成果。拉马努金提出过许多猜想，其中很多都被证实是正确的。除了那些实实在在的数学定理之外，他的思想也给许多后世的科学家带去了启示。

2.

在拉马努金提出的定理中，经常涉及到连分数的概念，它会将一个数表示成为无限的嵌套分数和。以色列理工学院的数学家Gal Raayoni和他的同事受到拉马努金的启发，利用这种思路发明了一种新颖、系统的方法，并将它取名为拉马努金机。这是一种计算机程序，它可以利用算法推导出基本常数的新的数学公式，并揭示其基本结构。

与物理和所有其他科学中的测量不同，数学常数可以用一个恰当的公式计算到任意精度（即小数点后任意位），从而提供的是一个绝对的基本真理。从这个意义上说，数学常数包含的是无限数量的数据（例如无理数中的无限数列序列）。e和π就是两个几乎无处不在的基本数学常数，从抽象的数学到几何物理，从生物到化学，到处都有他们的身影。

然而，几个世纪以来，与基本常数有关的新的数学公式很少出现，只有非常偶尔才有零星的发现。但是利用新的算法，拉马努金机已经找到了几十个表示π、e，以及黎曼ζ函数值的连分数。其中有的是之前就被数学家找到的，还有一些则是全新的。

3.

在这项研究中，Raayoni等人提出了两种算法，它们被证明在发现新结果方面非常有效：一种是密码学里的中途相遇（MITM）算法的变体，还有一种是针对连分数递归结构的梯度下降（GD）算法。这两种算法都是基于数值匹配，因此可以在不需要证明，也不需要具备任何数学结构的先验知识就能找到新的猜想公式。

MITM需要生成许多的数学表达式，为有限次数的迭代计算它们的值，然后消除那些给出不准确结果的表达式。例如，e的值是以2.718开头的小数，当试图近似e时，任何可能产生过高或过低的值的猜想都将被排除。再计算出那些似乎可行的猜想，进行更多的迭代，以确定哪些猜测可能正确的。

○ 新的算法产生了许多猜想，图中所示的两个新的猜想。| 图片来源：[3]

这样的方法对没有数学结构的基本常数格外有吸引力，因为它推翻了在形式证明中时序逻辑的传统方法。研究人员提出了一种新的概念方法：这是一种利用数值数据揭示新的内部结构和猜想的计算机算法，就像拥有了过去只有伟大的数学家才具有的数学直觉，为新的数学研究提供了线索。

华威大学的数学家Saul Schleimer认为，拉马努金机就像是一个泛化的试错过程，它可以在不知道这些猜想为什么正确的情况下产生这些猜想，而且它也像拉马努金一样很喜欢连分数。不过，Schleimer表示，他认为拉马努金机是比不上拉马努金的，因为拉马努金的连分数更加微妙，在某种意义上说更加成熟。所以他认为虽然这是一项很好的实验数学，但还不能被当做是一种新的思维方式。

研究小组希望人们可以为新的猜想提交证明，他们将拉马努金机的软件分享在网站上供人下载使用。他们决定，一旦有谁发现了某个猜测，就会用发现者的名字为该猜想命名。

参考链接：

[1] https://arxiv.org/abs/1907.00205

[2] https://www.newscientist.com/article/2209213-computer-attempts-to-replicate-the-dream-like-maths-of-ramanujan/

[3] http://www.ramanujanmachine.com/