神奇的力学: 如何才能防止皱纹？

来源：知社学术圈

漫步大自然中，五彩缤纷的花朵令人赏心悦目。细心的人会发现，即使是同一朵花的花瓣形貌上也存在差异（图1）：较为弯曲的花瓣表面光滑，较为平坦的花瓣易产生褶皱。而类似的现象也出现在日常生活中（图2）：平整的袖子受拉时会出现横向褶皱，而穿上后具有曲率的袖子受拉时仍保持表面光滑。由此可见，曲率在薄膜褶皱失稳中起着重要影响。

图1.同一簇美人蕉，曲率小的花瓣有褶，曲率大的花瓣无褶。

图2.(a)-(b)平展的袖子受拉时出现横向褶皱，穿起的袖子受拉时表面光滑。(c)-(d)实验装置及光栅表面形貌测量。(e)-(g)相同拉伸应变下增大曲率可抑制褶皱，大于临界曲率时褶皱消失。

近日，复旦大学徐凡教授课题组发表于固体力学权威期刊J. Mech. Phys. Solids[1]上的研究成果首次揭示了曲率影响下弹性薄膜拉伸失稳的力学机理与形貌演化全景（图2），发现曲率可以抑制薄膜拉伸起皱。随着曲率的增大，拉伸产生的横向褶皱幅值减小，并出现局部起褶与整体弯曲耦合的变形行为；当曲率高于临界曲率Kcr ，褶皱消失，即薄膜受拉时保持表面光滑。

研究人员基于广义微分几何建立了适用于任意光滑曲面并可描述材料大变形的薄壳微分方程模型，通过数值渐近法和谱配点法来定量求解并预测追踪非线性失稳形貌演化全貌（图3）。对于平面薄膜 (曲率K =0 )，在拉伸应变~2.5% 时褶皱出现，随着拉伸应变的增加，褶皱先增大后减小，最后消失，整个路径即为孤立中心分岔(isola-center bifurcation)的形态演化。

然而，对于曲面薄膜，在拉伸过程中出现了整体弯曲与局部起褶耦合的新型失稳行为。同时，褶皱幅值随着曲率的增大而减小。当曲率高于临界值时，褶皱不会出现，只发生弯曲变形。值得指出的是，采用不同的超弹性材料本构并不会对这一过程产生质变影响，说明该现象的普适性，即主要依赖于几何非线性。

图3. (a)应变-挠度分岔曲线，当曲率K ≥ Kcr ~ 0.0013 时，只出现整体弯曲（无褶）。(b)弯曲能-应变演化曲线，绿色区域表示整体弯曲与局部起褶的耦合行为，橙色区域表示只发生整体弯曲变形（无褶）。(c)经典DMV壳模型无法预测褶皱消失现象。(d)理论计算演化与实验对比。

研究人员进一步考察了几何尺寸对褶皱形态与演化的影响。结果发现当长宽比大于阀值 (β＞4 ) 时，薄膜会由中间出褶变为两端出褶。褶皱的分离可以通过压应力的迁移与分布来解释。为了深入理解起褶/光滑响应的稳定性边界，指导褶皱调控，研究人员通过理论计算得到稳定性边界的三维（曲率、长宽比、宽厚比）相图，与实验结果相吻合（图4）。

图4. 曲率影响下的稳定性边界三维相图。薄膜长宽比 决定了中间起褶与两端起褶。

该研究通过实验、理论与计算揭示了曲率对薄膜拉伸起皱-消皱行为影响的内在机理与调控机制。理解柔性薄膜的非线性形貌演化对于多功能表面制造具有潜力，为薄膜结构表面形貌的调控与无褶皱设计提供了新的思路。

论文通讯作者为复旦大学徐凡教授，其博士研究生汪婷、杨易凡和傅晨玻为论文共同一作。中南大学汪馗教授是论文的合作者。研究受到国家自然科学基金(11602058, 11872150, 11772094, 11890673)，上海市青年科技启明星计划 (19QA1400500)，上海市“晨光计划”(16CG01)等项目资助。