谢尔宾斯基三角形

谢尔宾斯基三角形（英语：Sierpinski triangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出。它是自相似集的例子。它的豪斯多夫维是log(3)/log(2) ≈ 1.585。

构造去掉中心1.取一个实心的三角形。（多数使用等边三角形）

2.沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形。

3.去掉中间的那一个小三角形。

4.对其余三个小三角形重复1。

取一个正方形或其他形状开始，用类似的方法构作，形状也会和谢尔宾斯基三角形相近。1

Chaos Game用随机的方法（Chaos Game），都可得到谢尔宾斯基三角形：

任意取平面上三点A,B,C，组成一三角形

任意取三角形ABC内的一点P，画出 该点

画出 P和三角形其中一个顶点的中点

重复1

L系统下图展示了曲线如何逼近谢尔宾斯基三角形。

这条曲线以L系统来记述为：

变量: A , B 常数: + , - 公理: A 规则: A → B-A-B B → A+B+A A,B ： 向前

- ： 左转60°

+ ： 右转60°

其他先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用黑色三角形代表挖去的面积，那么白三角形为剩下的面积（我们称白三角形为谢尔宾斯基三角形）。如果用上面的方法无限连续地作下去，则谢尔宾斯基三角形的面积越趋近于零，而它的周长越趋近于无限大（如图）。

若设操作次数为n（每挖去一次中心三角形算一次操作），则剩余三角形面积公式为：4的n次方分之3的n次方。

将边长为1的等边三角形区域，均分成四个小等边三角形，去掉中间一个，然后再对每个小等边三角形进行相同的操作得……，这样的操作不断继续下去直到无穷，最终所得的极限图形称为谢尔宾斯基垫片。谢尔宾斯基垫片的极限图形的面积趋于零，而小图形的数目趋于无穷，作为小图形的边的线段数目趋于无穷，实际上是一个线集。操作n次后边长r=(1/2)n，三角形个数N(r)=3 n，根据公式N(r)=1/rD，3n=2Dr，D=ln3/ln2=1.585。所以谢尔宾斯基垫片是1.585。它比普通的一维直线占据了更多空间，但还是没有二维正方形占据的那么多，可以用等比数列的知识求出他的面积是0。

本词条内容贡献者为:

尹维龙 - 副教授 - 哈尔滨工业大学