GNS构造

对于R及R的态φ，必存在希尔伯特空间H，向量ξ∈H，以及R在H上的表示ψ，使ψφ是以ξφ为循环向量的循环表示，而且还满足φ(x)= (ψφ,(x)ξφ,ξφ)，这就是GNS构造。

简介循环表示C*代数的表示是C*代数到某希尔伯特空间上的算子代数的同态。

设 R 是有单位元 e 的C*代数，H是希尔伯特空间。若存在R到H上的有界线性算子全体𝓑(H)中的代数同态ψ，满足ψ(e)= 1，ψ(x*)=(ψ(x))*，则称ψ是R在H上的表示。

如果ψ是一一对应，则称ψ是忠实的表示。如果存在ξ∈H，使{ψ(x)ξ|x∈R}在H中稠密，则称ψ是循环表示，而相应的ξ称为循环向量。忠实表示必是保范的。

定义对于R及R的态φ，必存在希尔伯特空间H，向量ξ∈H，以及R在H上的表示ψ，使ψφ是以ξφ为循环向量的循环表示，而且还满足φ(x)= (ψφ,(x)ξφ,ξφ)，这就是GNS构造。

推论由此可知，必存在希尔伯特空间H和ψ，使ψ是R在H上的忠实表示。

态与GNS构造是C*代数中最重要的部分，并且它们还有重要的物理意义。如果C*代数相应于量子系统的观察量代数，那么态就是量子系统的状态，而公式φ(x)= (ψφ,(x)ξφ,ξφ)恰为观察量x在状态φ中的期望值。1

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李宗秀 - 副教授 - 黑龙江财经学院