贝尔多项式

贝尔多项式(Bell's polynomial)是一种组合多项式。自从美国数学家E.T.Bell在1934年的文章“Exponential Polynomials"中首次提出以来，一直是组合学界的热门课题之一，现在 Bell多项式已经成为组合数学中的一个重要内容，在微分方程、理论物理和随机过程中都有应用，近几年来，Bell 多项式的恒等式及其应用引起了许多中外学者的兴趣1。

基本介绍贝尔多项式作为组合数学中的一个重要组合序列，在微分方程、随机过程和理论物理中都有着重要应用，而贝尔多项式这个概念最早是由美国数学家Bell提出的，其展式如下:

这里的和式取遍所有满足:

的整数 ≥0。

两类贝尔多项式贝尔多项式根据其发生函数的不同分为指数型Bell多项式与普通型Bell多项式。

指数型贝尔多项式指数型Bell多项式的实际上就是前文中所提到的Bell多项式，指数型Bell多项式是无限多变元 由双重形式级数展开式定义的多项式(

观察两边uk的系数，有

其中k=0,1,2,...。

指数型贝尔多项式的显式公式为:

和式取遍所有满足: 的整数 ≥0。

下面是指数型Bell多项式的一些特殊值：

普通型贝尔多项式普通型贝尔多项式是如下定义的，普通型Bell多项式是无限多变元 由双重形式级数展开式定义的多项式An,k=An,k( )

观察两边 的系数1，有

其中k=0,1,2,...。

两类贝尔多项式的关系Port给出了两类贝尔多项式的关系式:

由此可以得出结论，两种贝尔多项式的恒等式是可以等价互换的。由指数型贝尔多项式的恒等式与上式，立刻可得到普通型贝尔多项式的恒等式：

广义Bell 多项式

Comtet将Bell多项式的定义进行了推广：设 是一列参照序列，其中 关于 的Bell多项式

定义如下:

令 ，就得到了指数型贝尔多项式；令 ，就得到普通型贝尔多项式。

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学