差族

差族(difference family)是组合设计的一种工具，用于构作BIBD设计或PBD，设B₁，B₂，…，Bs是v阶群G的子集，运算以加法表示，Bi={bi₁，bi₂，…，biki}，K={ki|1≤i≤s}，若G中每个非零元在所有的差bij-bil(1≤i≤s)中恰出现λ次，则称B={B₁，B₂，…，Bs}是一个(v，K，λ)差族。

基本介绍差族概念是差集概念的自然推广。差族方法是构作各类设计的最常用也是最有效的方法之一。

定义1 设G为v阶Abel群，其运算为加法，设s为正整数，K为由正整数组成的集合，再设S为由G的s个子集 组成的子集族。此处

若以下条件满足：

(i)G中任意非零元a都恰有λ次表成如下形式的差：

(ii)当1≤i≤s时都有

则称S为G中的一个(v,K,λ)-差族(difference family)。当G=Zv为v阶循环群时，S叫做(v,K,λ)-循环差族。当K={k}时，S叫做(v,k,λ)-差族。1

若：

则(G，devB)是一个(v，K，λ)-PBD，当K={k}时得(v，K，λ)-BIBD，对差族也可定义乘子，但没有相应的乘子定理。分圆数理论可用于讨论差族的存在性，但目前尚没有系统的结果。当G为阿贝尔群时，一个(v，K，λ)差族有时也称为补差集，记为s-(v;k1，k2，…，ks;λ)补差集.

补差集和补差集可用来构作4v阶的阿达马矩阵，若为一个补差集，且满足条件：x∈D1就有x-1D1，则称{D1，D2}为采克勒斯差集。从一个采克勒斯差集可得到一个阶反型阿达马矩阵，当2m+1满足以下条件之一时存在采克勒斯差集：为素数幂；2m+1≡5(mod 8)且2m+1为素数幂；m=4n，2m+1=pt，p为素数，p≡5(mod 8)且t≡2(mod 4)。2

相关定理引理1 设G为v阶Abel群，为G的s个子集，若对1≤i≤s都有。则子集族S={]为G中(v,K,λ)-差族的充分必要条件是1

在群环Z[G]中成立。

对1≤i≤s，将由Bi中元素作成的差的全体所组成的多重集记作ΔBi。即

再令

上式中的ΔS是各ΔBi在多重集意义下的并。

定理1 设G为v阶加法Abel群，S为G中的一个(v，K，λ)-差族。则(G，DevS)是一个B(K，λ；v)。

定理2 若存在(v，k，λ)-差族。则

引理2 若存在v阶Abel群G中的(v，k，λ1)-差族与(v，k，λ2)-差族。则存在G中的(v，k，λ1+λ2)-差族；特别，若(v，k，λ)-差族存在。则对任一整数t，(v，k，tλ)-差族也存在1。

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王海侠 - 副教授 - 南京理工大学