Dinic算法

**Dinic算法（又称Dinitz算法）**是一个在网络流中计算最大流的强多项式复杂度的算法，设想由以色列（前苏联）的计算机科学家Yefim (Chaim) A. Dinitz在1970年提出。

历史Yefim Dinitz在Adel'son-Vel'sky（AVL树的发明者之一）的算法课的课前活动上发明了这个算法。当时他不知道关于Ford–Fulkerson算法的基本事实。

Dinitz在1969年一月向他人公布了他发明的算法，又在1970年将其发布在Doklady Akademii nauk SSSR杂志上。 在1974年，Shimon Even和(他之后的博士学生)Alon Itai在海法的以色列理工学院对Dinitz的算法以及Alexander Karzanov的阻塞流的想法很感兴趣。但是杂志上的文章每篇的篇幅被限制在四页以内，很多细节都被忽略，这导致他们很难根据文章还原出算法。但他们没有放弃，在后三天不断地努力，设法了解这两个文件中的分层网络的维护问题。 在接下来的几年，Even由于在讲学中将Dinitz念为Dinic，导致Dinic算法反而成为了它的名称。 Even和Itai也将算法与BFS和DFS结合起来，形成了当前版本的算法。

在Ford–Fulkerson算法被发明之后的约十年之内，使算法能在多项式复杂度之内处理不合理的边界的方法是未知的。这造成缺乏任何已知的多项式复杂度算法解决最大流问题。 Dinitz算法和Edmonds–Karp算法在1972年发布，证明在Ford–Fulkerson算法中，如果每次总选择最短的一条增广路，路径长度将单调增加，且算法总能终止。1

算法介绍层次图层次图，就是把原图中的点按照点到源的距离分“层”，只保留不同层之间的边的图。1

算法流程1、根据残量网络计算层次图。

2、在层次图中使用DFS进行增广直到不存在增广路。

3、重复以上步骤直到无法增广。

时间复杂度因为在Dinic的执行过程中，每次重新分层，汇点所在的层次是严格递增的，而n个点的层次图最多有n层，所以最多重新分层n次。在同一个层次图中，因为每条增广路都有一个瓶颈，而两次增广的瓶颈不可能相同，所以增广路最多m条。搜索每一条增广路时，前进和回溯都最多n次，所以这两者造成的时间复杂度是O(nm)；而沿着同一条边(i,j)不可能枚举两次，因为第一次枚举时要么这条边的容量已经用尽，要么点j到汇不存在通路从而可将其从这一层次图中删除。综上所述，Dinic算法时间复杂度的理论上界是O(n^2*m)。

代码实现递归实现

代码简短，效率略低。（不是dinic，是最短路径增值）

boolbuild()//建立层次图{intx,y;memset(d,-1,sizeof(d));memset(G,-1,sizeof(G));bg=ed=d[s]=0;Q[ed++]=s;G[s]=g[s];while(bg