划分几何学术资讯 - 科技工作者之家

划分几何(partition geometry)是一类组合几何，它是由有限集E上的划分导出的组合几何，在划分几何中，点与线的共线关系由划分之间的精细关系决定。

基本介绍划分几何是由有限集E上的划分导出的组合几何。设|E|=n，划分π包含有k个划分块，记π的秩r(π)=n-k，因此，划分π为划分几何的一个点，当且仅当π的最大划分块惟一且仅含两个元素，例如，n=4，π1=(ab)(c)(d)，π2=(a) (bc)(d)均为点。此时，简记π1=(ab)，π2=(bc)，而划分π为线，既可为π3=(abc)(d)，也可为π4=(ab)(cd)等。

在划分几何中，点与线的共线关系由划分之间的精细关系决定。例如，π1，π2均为π3的精细划分，所以，π1和π2这两点均在线π3之上，其他如图所示，E的元素可由划分π建立等价关系(π)，a(π)b当且仅当a，b同属π的一个划分块。对于任意划分a和π均可建立格的结运算和交运算，a(π∨σ)b当且仅当有元素u0=a，u1，u2，…，ut=b，使得对所有的0≤i≤t有ui(π)ui+1或ui(σ)ui+1；a(π∧σ)b当且仅当a(π)b且a(σ)b，从而，由划分几何导致格1。

相关介绍组合几何是一种组合构形，它是既不含自环也不含平行元素的拟阵M(E)，这样的拟阵亦称简单拟阵，从M(E)上的闭包算子看，组合几何为满足下述条件的拟阵：

1.空集∅的闭包.

2.对于E的任意元素e，有.

组合几何的点、线、面等分别为秩为1，2，3的平集，上点、上线、上面则分别为上秩为1，2，3的平集，特别地，上点又称为组合几何的超平面，组合几何关切的点、线、面这些基本要素的关系是由集合包容关系导出的序关系，一种特殊的关联关系，例如，一个点是否在一条线中，一条线是否在一个面中等，其背景在具体意义上可以差别极大，既可以是集合划分之间的精细关系，也可以是连通图上边集构成的圈的关系，当组合几何的维数较低时，可以把其点、线、面等要素之间的关联关系一一对应于投影空间上点集的线性相关性，从而使得组合几何具有明显的直观性。

考虑在投影平面S上的点a，b，c，d，e，f组成的点集E，其中{a，e，f}，{a，b，c}，{b，d，f}，{c，d，e}共线如下图所示，S中平集的秩为决定该平集的最少点数，因此，此组合几何G(E)的平集可由S上的平集F与E的交集F∩E给出，{a}，{b}，{c}，{d}，{e}，{f}为第一类平集，{a，b，c}，{c，d，e}，{b，d，f}，{a，e，f}，{a，d}，{c，f}，{b，e}为第二类平集，它们的秩由满足F∩A=A的投影空间上的平集F的秩给出，因此，第一类平集的秩为1，这样它们是G(E)中的点；而第二类平集的秩为2，它们为G(E)中的线，尽管平集{a，d}，{b，e}，{e，f}中并没有联线，这是组合几何与投影几何的不尽相同之处1。