仿射拟阵

仿射拟阵(affine matroid)是一种组合构形，它是与矩阵拟阵类似的拟阵M(E)，不同的是，这里的E是仿射空间A中的有限点构成的集合，而且在A中没有真子仿射空间可以包含E，仿射拟阵M(E)的独立集依次为单点集、两点构成的线段、三点构成的三角形、四点构成的四面体、多点组成的单纯形，其单纯形上秩函数之值为构成单纯形的点数，仿射拟阵的平集，是有关点集的仿射包与E的交集，而它的基则是张成E的单纯形1。

基本介绍定义1 记F=GF(q)是q个元素的有限域，V(n，q)为GF(q)上的n维线性空间，把V(n，q)中的全体qn个向量看作是一个n×qⁿ矩阵A的列向量，我们就得到了一个域F上的向量拟阵MGF(q)[A]，这个拟阵通常也记作V(n，q)。

设{v₁，v₂，…，vm}是V(n，F)的一个可重复子集合。若m>0，且存在不全为零的数量a₁，a₂，…，am∈F满足

和

则称{v₁，v₂，…，vm}是在F上仿射相关的(affinely dependent)，若{v₁，v₂，…，vm}不是仿射相关的，则称{v₁，v₂，…，vm}是在F上仿射无关的(affinely independent)。

定义2设{v₁，v₂，…，vm}⊆V(n，F)是一个可重复的向量集，又设E是{v₁，v₂，…，vm}的标号集合。定义

={ 所标记的向量是在F上仿射无关的}，

则 满足独立集公理(I1)-(I3)（见下文），从而(E， )是个拟阵，称为一个仿射拟阵(affine matroid))。

证明 记每个vi为n维列向量，定义矩阵(其列也为E所标记)

为F上的(n+1)×m矩阵，其中A的第一行的每一个元素都是F的乘法单位元。从仿射相关的定义可知，对每个子集X⊆E， X所标记的向量是在F上仿射相关的充分必要条件是X所标记的A的列向量是在向量空间V(n+1，F)中是线性相关的，因此 满足独立集公理(I1)， (I2)和(I3)。

定义3当F是个有限域时，由V(n，F)中全体向量组成的仿射拟阵称为一个仿射几何(affine geometry)，记作AG(n，F)。若|F|=q，通常AG(n，F)也记为AG(n，q)。

从定义可知，仿射拟阵一定不含有环，但却可以有平行元素，因此一个仿射拟阵不一定是个简单拟阵。

一个拟阵(matroid)M是一个有序对(E， )，其中E且是一个有限集合， ⊆2E是E中子集的集合，它们满足以下的公理：

(I1)∅∈ 。

(I2)若I∈ ，及I'⊆I，则I'∈ 。

(I3)若I₁，I₂∈ 且|I₁|