若尔当分解定理。

在线性代数中，若尔当标准型（英语：Jordan normal form）或称若尔当正规型（英语：Jordan canonical form）是某个线性映射在有限维向量空间上的特别的矩阵表达形式，称作若尔当矩阵(Jordan matrix)，这矩阵接近对角矩阵：除了主对角线和主对角线上方元素之外，其余都是零且主对角线上方的对角线的系数若不为零只能为1，且这1左方和下方的系数（都在主对角线上）有相同的值。

简介在线性代数中，若尔当标准型（英语：Jordan normal form）或称若尔当正规型（英语：Jordan canonical form）是某个线性映射在有限维向量空间上的特别的矩阵表达形式，称作若尔当矩阵(Jordan matrix)，这矩阵接近对角矩阵：除了主对角线和主对角线上方元素之外，其余都是零且主对角线上方的对角线的系数若不为零只能为1，且这1左方和下方的系数（都在主对角线上）有相同的值。1

定义一个n×n的矩阵M是可对角化的，当且仅当M满足下列条件之一：

M有n个线性无关的特征向量。或者说，M有一个由特征向量组成的基。（称作极大无关条件）

M的所有特征值的几何重数（即相应特征子空间的维数）等于相应的代数重数。

M的极小多项式经标准分解后，每一项都是一次项，且重数都是1。（称作互异单根条件）

矩阵的对角化使得研究其性质变为研究相应的对角矩阵的性质，而后者显然简单得多。由于不是所有矩阵都满足上述三个条件之一，有的矩阵是不可对角化的，例如以下的：

计入重数的话，M的特征值为1, 2, 4, 4。{\displaystyle M-4I}的核的维数是1，因此M不可对角化。但经过基底变换，M相似于下面的矩阵：

矩阵J近乎对角矩阵，除了第三列第四行系数是1。如果将后两行和后两列的部分作为一块的话，矩阵J就是一个分块对角矩阵。若尔当标准型的目标就是将更多的矩阵化简到一类只比对角矩阵稍微复杂的矩阵：若尔当标准型。实际上这是一种简单的分块对角矩阵。

这里的“简单”是指每小块矩阵都具备一种很简单的形状：

其中主对角线上都是同一个系数，而对角线上方一排全是1。形同以上的矩阵称为若尔当矩阵。而矩阵J中每一个这样的小块被称为若尔当块。

线性代数中有如下的结果：

对任意系数域为的矩阵M，只要其特征值都在中，就存在一个与之相似的若尔当标准型J：，其中P是一个可逆矩阵。并且满足：

矩阵J的特征值（计入重数）就是主对角线上的系数。

对于J的一个特征值，它的几何重数就是属于特征值的若尔当块的个数。

所有属于特征值的若尔当块的维数之和是特征值的代数重数。1

推论如果矩阵的系数域是一个代数闭域，那么由于其特征值是特征多项式的根，所以也在系数域中。于是只要系数域是一个代数闭域，所有的矩阵都相似于若尔当标准型。特别的，所有复系数矩阵都可以简化为若尔当标准型，因为复数域是代数封闭的。

所有的若尔当标准型都可以分解成一个对角矩阵D和一个只有对角线上一排为1的矩阵N的和。这两个矩阵是可交换的，因为其中一个是对角矩阵。不仅如此，矩阵N是一个幂零矩阵。因此，每个相似于若尔当标准型的矩阵都可以写成可交换的一个对角矩阵和一个幂零矩阵的和。因为与对角矩阵和幂零矩阵相似的矩阵仍然是对角矩阵和幂零矩阵。换句话说，只要一个矩阵的特征值都在它的系数域里（或者说它的最小多项式或特征多项式可以分解成一次项的乘积），就可以将这个矩阵分解成一个对角矩阵和一个幂零矩阵的和，而这两个矩阵可以交换。这个结果被称为丹佛分解（Dunford分解），在计算矩阵的指数时很有用。

谱映射定理用若尔当标准型以及直接的计算可以得出：如果n×n矩阵A的特征值为：λ1, ..., λn，那么对于多项式：p，矩阵p(A)的特征值是：p(λ1), ...,p(λn)。

凯莱-哈密尔顿定理凯莱-哈密尔顿定理断言任意矩阵A都是特征方程的根：如果p是A的特征多项式，那么p(A) = 0。这个定理一样可以用若尔当标准型直接计算得出。

最小多项式方块矩阵A的最小多项式是使得m(A) = 0的非常数首一多项式中次数最小者。另一种定义是：所有使得m(A) = 0的多项式构成主理想环C[x]的一个理想I，而m则是这个理想的产生子。

对于有若尔当标准型的矩阵A，其最小多项式以其特征值为根，并且由若尔当标准型的形状可以看出，每个特征值的重数是若尔当标准型中属于这个特征值的最大的若尔当块的维数。

反之已知矩阵A的最小多项式并不能知道其若尔当标准型。要确定矩阵A的标准型需要用到所谓的初等因子。矩阵A的一个初等因子是它的某一个若尔当块的特征多项式（或最小多项式，对于若尔当块两者一样）。如果所有的初等因子都是一次多项式，那么A可对角化。1

参见矩阵分解

若尔当矩阵

本词条内容贡献者为:

任毅如 - 副教授 - 湖南大学